Номер 12.6, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние от вершины А до прямой:

а) $BD_1$;

б) $CD_1$.

Рис. 12.8

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $H = 1$ (единица длины).

Найти:

а) Расстояние от вершины A до прямой $BD_1$.

б) Расстояние от вершины A до прямой $CD_1$.

Решение:

Поскольку призма правильная и все её ребра равны $1$, это означает, что основанием является правильный шестиугольник со стороной $a=1$, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и имеют длину $H=1$. Для правильного шестиугольника со стороной $a=1$ известны следующие длины: сторона шестиугольника (например, $AB$, $BC$, $CD$) равна $a = 1$; малая диагональ (например, $AC$, $BD$) равна $d_{small} = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$; большая диагональ (например, $AD$) равна $d_{large} = 2a = 2$. Расстояние от точки до прямой в пространстве можно найти, построив перпендикуляр из точки к прямой. Если треугольник, образованный точкой и двумя точками на прямой, является прямоугольным, то расстояние равно одному из катетов.

а) Расстояние от вершины A до прямой $BD_1$

Рассмотрим треугольник $ABD_1$. Нам нужно найти высоту, опущенную из вершины A на прямую $BD_1$. Найдем длины сторон треугольника $ABD_1$: длина ребра $AB = 1$ (сторона основания). Длина отрезка $BD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$. Катеты $DD_1 = H = 1$ (высота призмы) и $BD = \sqrt{3}$ (малая диагональ основания). По теореме Пифагора $BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Следовательно, $BD_1 = \sqrt{4} = 2$. Длина отрезка $AD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катеты $DD_1 = H = 1$ и $AD = 2$ (большая диагональ основания). По теореме Пифагора $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Следовательно, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $ABD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Поскольку $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине B (гипотенуза $AD_1$ лежит напротив прямого угла). В прямоугольном треугольнике $ABD_1$ перпендикуляр из вершины A к прямой $BD_1$ совпадает со стороной $AB$, так как $\angle ABD_1 = 90^\circ$. Поэтому расстояние от вершины A до прямой $BD_1$ равно длине $AB$.

Ответ: $1$

б) Расстояние от вершины A до прямой $CD_1$

Рассмотрим треугольник $ACD_1$. Нам нужно найти высоту, опущенную из вершины A на прямую $CD_1$. Найдем длины сторон треугольника $ACD_1$: длина отрезка $AC = \sqrt{3}$ (малая диагональ основания). Длина отрезка $CD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$. Катеты $DD_1 = H = 1$ (высота призмы) и $CD = 1$ (сторона основания). По теореме Пифагора $CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Следовательно, $CD_1 = \sqrt{2}$. Длина отрезка $AD_1$: Мы уже нашли ее в пункте а), $AD_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $ACD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $AC^2 + CD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$. $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Поскольку $AC^2 + CD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ACD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C (гипотенуза $AD_1$ лежит напротив прямого угла). В прямоугольном треугольнике $ACD_1$ перпендикуляр из вершины A к прямой $CD_1$ совпадает со стороной $AC$, так как $\angle ACD_1 = 90^\circ$. Поэтому расстояние от вершины A до прямой $CD_1$ равно длине $AC$.

Ответ: $\sqrt{3}$