Номер 12.13, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние от вершины A до прямой:

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ (это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$).

Найти:

а) Расстояние от вершины A до прямой $BE_1$.

б) Расстояние от вершины A до прямой $CE_1$.

Решение:

Для правильной шестиугольной призмы с длиной стороны основания $a$ и высотой $h$ справедливы следующие соотношения:

• Длина ребра основания: $a=1$.

• Длина бокового ребра (высота призмы): $h=1$.

• Длина короткой диагонали основания (соединяющей вершины через одну, например, $AC, AE, CE, BD, BF, DF$): $d_{короткая} = a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

• Длина длинной диагонали основания (соединяющей противоположные вершины, например, $AD, BE, CF$): $d_{длинная} = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

а) BE₁

Рассмотрим треугольник $ABE_1$. Искомое расстояние от вершины A до прямой $BE_1$ - это длина высоты, опущенной из вершины A на сторону $BE_1$. Определим длины сторон этого треугольника:

• Длина ребра $AB$: $AB = a = 1$.

• Длина диагонали $BE_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$. Его катеты $EE_1 = h = 1$ и $BE$. $BE$ является длинной диагональю основания, поэтому $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

  По теореме Пифагора: $BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

  Следовательно, $BE_1 = \sqrt{5}$.

• Длина диагонали $AE_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEE_1$. Его катеты $EE_1 = h = 1$ и $AE$. $AE$ является короткой диагональю основания, поэтому $AE = a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

  По теореме Пифагора: $AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

  Следовательно, $AE_1 = 2$.

Стороны треугольника $ABE_1$ имеют длины: $AB=1$, $BE_1=\sqrt{5}$, $AE_1=2$.

Проверим, является ли треугольник $ABE_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$AB^2 + AE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $AB^2 + AE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $ABE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине A ($AB \perp AE_1$).

Расстояние от вершины A до прямой $BE_1$ (обозначим его $d_a$) можно найти из формулы площади треугольника. Площадь прямоугольного треугольника $ABE_1$ равна:

$S_{\triangle ABE_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

С другой стороны, площадь треугольника также может быть выражена как $S_{\triangle ABE_1} = \frac{1}{2} \cdot BE_1 \cdot d_a$.

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot d_a$.

$d_a = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

б) CE₁

Рассмотрим треугольник $ACE_1$. Искомое расстояние от вершины A до прямой $CE_1$ - это длина высоты, опущенной из вершины A на сторону $CE_1$. Определим длины сторон этого треугольника:

• Длина диагонали $AC$: $AC$ - короткая диагональ основания, $AC = a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

• Длина диагонали $CE_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEE_1$. Его катеты $EE_1 = h = 1$ и $CE$. $CE$ является короткой диагональю основания, поэтому $CE = a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

  По теореме Пифагора: $CE_1^2 = CE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

  Следовательно, $CE_1 = 2$.

• Длина диагонали $AE_1$: Уже вычислено в пункте а), $AE_1 = 2$.

Стороны треугольника $ACE_1$ имеют длины: $AC=\sqrt{3}$, $CE_1=2$, $AE_1=2$.

Поскольку $CE_1 = AE_1 = 2$, треугольник $ACE_1$ является равнобедренным.

Обозначим искомое расстояние $d_b$. Пусть P - основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на прямую $CE_1$. Тогда $AP = d_b$.

Найдем косинус угла $\angle ACE_1$ в треугольнике $ACE_1$ по теореме косинусов:

$AE_1^2 = AC^2 + CE_1^2 - 2 \cdot AC \cdot CE_1 \cdot \cos(\angle ACE_1)$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(\angle ACE_1)$

$4 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACE_1)$

$4 = 7 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACE_1)$

$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACE_1) = 7 - 4 = 3$

$\cos(\angle ACE_1) = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Так как $\cos(\angle ACE_1) > 0$, угол $\angle ACE_1$ является острым, и основание перпендикуляра P лежит на отрезке $CE_1$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $APC$ (угол P прямой). Найдем длину отрезка $CP$:

$CP = AC \cdot \cos(\angle ACE_1) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4}$.

Используем теорему Пифагора в треугольнике $APC$, чтобы найти $d_b = AP$:

$d_b^2 = AP^2 = AC^2 - CP^2 = (\sqrt{3})^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 3 - \frac{9}{16} = \frac{48}{16} - \frac{9}{16} = \frac{39}{16}$.

$d_b = \sqrt{\frac{39}{16}} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{4}$