Страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, в которых лежат эти прямые (рис. 14.5).

Рис. 14.5

Дано:

Прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

Плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ ($a \subset \alpha$).

Плоскость $\beta$ содержит прямую $b$ ($b \subset \beta$).

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Найти:

Доказать, что расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Решение:

Для доказательства утверждения рассмотрим определения расстояния между скрещивающимися прямыми и расстояния между параллельными плоскостями.

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр — это единственный отрезок, перпендикулярный обеим прямым, концы которого лежат на этих прямых. Пусть $MN$ — общий перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, где $M \in a$ и $N \in b$. Тогда расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно $d(a,b) = MN$.

По определению общего перпендикуляра, $MN \perp a$ и $MN \perp b$.

Плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ ($a \subset \alpha$). Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), и прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$ ($\alpha \parallel b$). Это следует из того, что если плоскость параллельна другой плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей во второй плоскости. Аналогично, так как $\alpha \parallel \beta$ и $a \subset \alpha$, то плоскость $\beta$ параллельна прямой $a$ ($\beta \parallel a$).

Таким образом, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ и параллельна прямой $b$, а плоскость $\beta$ содержит прямую $b$ и параллельна прямой $a$.

Докажем, что общий перпендикуляр $MN$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Мы знаем, что $MN \perp a$. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$, то существует прямая $b'$ в плоскости $\alpha$, проходящая через точку $M$ и параллельная прямой $b$. Так как $MN \perp b$ и $b' \parallel b$, то $MN \perp b'$. Прямые $a$ и $b'$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $M$ (они не могут быть параллельными, так как $a$ и $b$ скрещивающиеся, а $b' \parallel b$, значит $a$ не параллельна $b'$). Следовательно, отрезок $MN$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($a$ и $b'$) в плоскости $\alpha$, проходящим через точку $M$. Отсюда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что $MN \perp \alpha$.

Аналогично, можно показать, что $MN \perp \beta$. Так как $MN \perp b$ и существует прямая $a'$ в плоскости $\beta$, проходящая через точку $N$ и параллельная прямой $a$ (поскольку $\beta \parallel a$), то $MN \perp a'$. Прямые $b$ и $a'$ лежат в плоскости $\beta$ и пересекаются в точке $N$. Следовательно, $MN \perp \beta$.

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется длина любого отрезка, перпендикулярного этим плоскостям, концы которого лежат на этих плоскостях. Поскольку $MN \perp \alpha$ и $MN \perp \beta$, а $M \in \alpha$ (так как $M \in a$ и $a \subset \alpha$) и $N \in \beta$ (так как $N \in b$ и $b \subset \beta$), то длина отрезка $MN$ является расстоянием между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. То есть $d(\alpha, \beta) = MN$.

Из приведенных рассуждений следует, что расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$, равное $MN$, совпадает с расстоянием между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, в которых лежат эти прямые, также равным $MN$.

Ответ: Доказано.

Вопросы

1.Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

2.Что называется общим перпендикуляром для двух скрещивающихся прямых?

3.Что называется расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми?

1. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между этими прямыми. Иначе говоря, это расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой.

Ответ:

2. Что называется общим перпендикуляром для двух скрещивающихся прямых?

Общим перпендикуляром для двух скрещивающихся прямых $a$ и $b$ называется отрезок, концы которого лежат на этих прямых, и который перпендикулярен каждой из них.

Ответ:

3. Что называется расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми?

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Также, это расстояние от одной из прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Ответ: