Страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется ортогональной проекцией точки на плоскость?

2. Что называется ортогональным проектированием на плоскость?

3. Сформулируйте свойства ортогонального проектирования.

4. Что называется наклонной?

5. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

1. Что называется ортогональной проекцией точки на плоскость?

Ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. Если точка лежит на плоскости, то ее ортогональная проекция совпадает с самой точкой.

Ответ:

2. Что называется ортогональным проектированием на плоскость?

Ортогональным проектированием на плоскость называется отображение пространства на эту плоскость, при котором каждая точка пространства переходит в свою ортогональную проекцию на данную плоскость.

Ответ:

3. Сформулируйте свойства ортогонального проектирования.

Свойства ортогонального проектирования включают: 1. Проекцией прямой, не перпендикулярной плоскости проекции, является прямая. 2. Проекцией прямой, перпендикулярной плоскости проекции, является точка. 3. Проекция отрезка на плоскость меньше или равна длине самого отрезка; она равна длине отрезка, если отрезок параллелен плоскости или лежит в ней. 4. Ортогональное проектирование сохраняет параллельность прямых (если они не перпендикулярны плоскости проекции). 5. Ортогональное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. 6. Угол между прямой и ее проекцией называется углом между прямой и плоскостью. Длина проекции отрезка $AB$ на плоскость $P$ равна $AB \cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между отрезком $AB$ и плоскостью $P$.

Ответ:

4. Что называется наклонной?

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий эту точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Основание наклонной – это точка на плоскости, куда опускается наклонная. Отрезок, соединяющий основание наклонной с основанием перпендикуляра, опущенного из той же точки на ту же плоскость, называется проекцией наклонной на плоскость.

Ответ:

5. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

Теорема о трех перпендикулярах формулируется следующим образом: Если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. Обратная теорема гласит: Если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной на эту плоскость. Пусть $A$ — точка вне плоскости $\alpha$, $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$ ($H \in \alpha$), $AM$ — наклонная к плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$), и $HM$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$. Если прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$ и $l \perp HM$, то $l \perp AM$. И наоборот, если $l \perp AM$, то $l \perp HM$.

Ответ:

A

15.1. Из точки $A$ к данной плоскости проведены перпендикуляр $AA'$ и наклонная $AB$. Найдите ортогональную проекцию отрезка $AB$, если $AB = 37$ см, $AA' = 35$ см.

Дано:

$AA' = 35$ см

$AB = 37$ см

Перевод в систему СИ:

$AA' = 0.35$ м

$AB = 0.37$ м

Найти:

$A'B$ - ?

Решение:

ортогональной проекцией отрезка $AB$ на плоскость является отрезок $A'B$, где $A'$ - основание перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к плоскости, а $B$ - точка, лежащая в плоскости. таким образом, точки $A$, $A'$ и $B$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle AA'B$, в котором $AA'$ является катетом (перпендикуляром к плоскости), $A'B$ - другим катетом (ортогональной проекцией), а $AB$ - гипотенузой (наклонной).

для нахождения длины катета $A'B$ используем теорему пифагора: $AB^2 = AA'^2 + A'B^2$.

выразим $A'B$:

$A'B^2 = AB^2 - AA'^2$

$A'B = \sqrt{AB^2 - AA'^2}$

подставим известные значения:

$A'B = \sqrt{(37 \text{ см})^2 - (35 \text{ см})^2}$

$A'B = \sqrt{1369 \text{ см}^2 - 1225 \text{ см}^2}$

$A'B = \sqrt{144 \text{ см}^2}$

$A'B = 12 \text{ см}$

Ответ: 12 см

15.2. Из точки $A$ к данной плоскости проведены перпендикуляр $AA'$ и наклонная $AB$. Найдите отрезок $AB$, если $AA' = 6 \text{ см}$, $\angle A'AB = 60^\circ$.

Дано:

Перпендикуляр $AA' = 6$ см.

Угол $\angle A'AB = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$AA' = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Угол $\angle A'AB = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$.

Найти:

Длина отрезка $AB$.

Решение:

По условию задачи, отрезок $AA'$ является перпендикуляром к данной плоскости, а отрезок $AB$ — наклонной. Это означает, что точка $A'$ является проекцией точки $A$ на плоскость, и треугольник $AA'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$.

В прямоугольном треугольнике $AA'B$ нам известны длина катета $AA'$ и угол $\angle A'AB$, который является углом между наклонной $AB$ и перпендикуляром $AA'$. Катет $AA'$ является прилежащим к углу $\angle A'AB$. Отрезок $AB$ является гипотенузой этого треугольника.

Для нахождения гипотенузы $AB$, зная прилежащий катет и угол, мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса. Определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике гласит:

$\cos(\text{угла}) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

В нашем случае это будет:

$\cos(\angle A'AB) = \frac{AA'}{AB}$

Из этого уравнения выразим длину отрезка $AB$:

$AB = \frac{AA'}{\cos(\angle A'AB)}$

Подставим заданные значения:

$AA' = 6 \text{ см}$

$\angle A'AB = 60^\circ$

Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = 0.5$.

Теперь вычислим $AB$:

$AB = \frac{6 \text{ см}}{0.5}$

$AB = 12 \text{ см}$

Ответ:

Ответ: $12$ см.

15.3. Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр $AA'$ и наклонная $AB$. Найдите отрезок $AA'$, если $AB = 2\sqrt{10}$ см, $A'B = 3AA'$.

Дано:

$AA'$ - перпендикуляр к плоскости.

$AB$ - наклонная к плоскости.

$AB = 2\sqrt{10}$ см.

$A'B = 3AA'$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах, что является допустимой единицей измерения длины в рамках данной задачи. Перевод в метры не требуется.

Найти:

$AA'$

Решение:

По условию задачи, отрезок $AA'$ является перпендикуляром к данной плоскости, а отрезок $AB$ является наклонной, проведенной из той же точки $A$ к этой плоскости. Точка $A'$ является основанием перпендикуляра, а точка $B$ является точкой на плоскости, куда проведена наклонная.

Отрезок $A'B$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость. В этом случае треугольник $AA'B$ является прямоугольным, так как перпендикуляр $AA'$ образует прямой угол с любой линией, лежащей в плоскости и проходящей через $A'$, в частности с $A'B$. Таким образом, $\angle AA'B = 90^\circ$.

Для прямоугольного треугольника $AA'B$ можем применить теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AB^2 = AA'^2 + A'B^2$

Обозначим искомую длину отрезка $AA'$ как $x$. То есть, пусть $AA' = x$ см.

Согласно условию задачи, $A'B = 3AA'$. Подставим $x$ в это выражение:

$A'B = 3x$ см.

Теперь подставим известные значения $AB = 2\sqrt{10}$ см, $AA' = x$ см и $A'B = 3x$ см в уравнение теоремы Пифагора:

$(2\sqrt{10})^2 = x^2 + (3x)^2$

Выполним возведение в квадрат:

$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$

$(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$

Подставим эти значения обратно в уравнение:

$40 = x^2 + 9x^2$

Сложим подобные члены в правой части уравнения:

$40 = 10x^2$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 10:

$x^2 = \frac{40}{10}$

$x^2 = 4$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение корня:

$x = \sqrt{4}$

$x = 2$

Таким образом, длина отрезка $AA'$ составляет 2 см.

Ответ: 2 см.

15.4. На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой равна 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м?

Дано:

Длина лестницы ($L$) = 13 м

Высота на стене ($h$) = 12 м

(Данные приведены в системе СИ)

Найти:

Расстояние от стены до нижнего конца лестницы ($d$)

Решение:

Лестница, стена дома и земля образуют прямоугольный треугольник, где длина лестницы ($L$) является гипотенузой, а высота ($h$) и искомое расстояние ($d$) являются катетами. Согласно теореме Пифагора:

$L^2 = h^2 + d^2$

Чтобы найти расстояние $d$, выразим его из этой формулы:

$d^2 = L^2 - h^2$

$d = \sqrt{L^2 - h^2}$

Подставим известные значения:

$d = \sqrt{13^2 - 12^2}$

$d = \sqrt{169 - 144}$

$d = \sqrt{25}$

$d = 5$ м

Ответ: 5 м

15.5. Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома на высоте 8 м, если ее нижний конец отстоит от дома на 6 м?

Дано

Высота окна от земли (катет): $h = 8$ м

Расстояние нижнего конца лестницы от дома (другой катет): $d = 6$ м

Перевод в СИ: величины уже даны в системе СИ.

Найти:

Длина лестницы (гипотенуза): $L$

Решение

Ситуация, описанная в задаче, образует прямоугольный треугольник, где высота окна является одним катетом, расстояние от нижнего конца лестницы до дома - другим катетом, а сама лестница - гипотенузой. Для нахождения длины лестницы воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $L^2 = h^2 + d^2$.

Подставляем известные значения:

$L^2 = (8 \text{ м})^2 + (6 \text{ м})^2$

$L^2 = 64 \text{ м}^2 + 36 \text{ м}^2$

$L^2 = 100 \text{ м}^2$

Для нахождения $L$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$L = \sqrt{100 \text{ м}^2}$

$L = 10 \text{ м}$

Ответ: $10$ м

15.6. Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Ортогональная проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите ортогональную проекцию другого отрезка.

Дано:

Длины двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости: $l_1 = 15 \text{ см}$, $l_2 = 20 \text{ см}$.

Ортогональная проекция одной из наклонных: $p = 16 \text{ см}$.

Поскольку длина проекции не может быть больше длины самой наклонной, а $16 \text{ см} > 15 \text{ см}$, то проекция $p = 16 \text{ см}$ соответствует наклонной $l_2 = 20 \text{ см}$. Обозначим эту проекцию как $p_2$. Таким образом, $l_1 = 15 \text{ см}$, $l_2 = 20 \text{ см}$, $p_2 = 16 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$l_1 = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$l_2 = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$p_2 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

$p_1$ – ортогональная проекция другой наклонной (соответствующей $l_1$).

Решение:

Пусть $h$ – перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость. Наклонная, ее проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора квадрат длины наклонной равен сумме квадратов длины ее проекции и длины перпендикуляра ($l^2 = p^2 + h^2$).

Сначала найдем длину перпендикуляра $h$, используя данные для второй наклонной ($l_2$) и ее проекции ($p_2$):

$h^2 = l_2^2 - p_2^2$

$h^2 = (20 \text{ см})^2 - (16 \text{ см})^2$

$h^2 = 400 \text{ см}^2 - 256 \text{ см}^2$

$h^2 = 144 \text{ см}^2$

$h = \sqrt{144 \text{ см}^2} = 12 \text{ см}$

Теперь, зная длину перпендикуляра $h$ и длину первой наклонной $l_1$, найдем ее проекцию $p_1$:

$p_1^2 = l_1^2 - h^2$

$p_1^2 = (15 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2$

$p_1^2 = 225 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2$

$p_1^2 = 81 \text{ см}^2$

$p_1 = \sqrt{81 \text{ см}^2} = 9 \text{ см}$

Ответ:

Ортогональная проекция другого отрезка равна $9 \text{ см}$.