Страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Какой угол будет наибольшим углом между наклонной к плоскости и прямыми, лежащими в этой плоскости?

Решение

Пусть дана плоскость $\alpha$ и наклонная $L$, которая пересекает плоскость $\alpha$ в точке $P$. Наклонная — это прямая, не перпендикулярная плоскости и не лежащая в ней.

Мы ищем наибольший угол между наклонной $L$ и любой прямой $M$, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $P$.

Рассмотрим точку $A$ на наклонной $L$, отличную от $P$. Опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Пусть $A'$ будет основанием этого перпендикуляра на плоскости $\alpha$. Тогда $PA'$ является ортогональной проекцией наклонной $L$ на плоскость $\alpha$. Угол между наклонной $L$ и плоскостью $\alpha$ равен углу $\angle APA'$, который обозначим как $\theta$. Для наклонной $L$ угол $\theta$ находится в пределах $0^\circ < \theta < 90^\circ$.

Рассмотрим произвольную прямую $M$, лежащую в плоскости $\alpha$ и проходящую через $P$. Пусть $\phi$ - это угол между наклонной $L$ (прямой $AP$) и прямой $M$. В геометрии угол между двумя прямыми обычно определяется как наименьший из двух смежных углов, образующихся при их пересечении, то есть $\phi \in [0^\circ, 90^\circ]$.

Для определения угла $\phi$ можно использовать формулу через косинусы. Пусть $\psi$ - это угол между прямой $M$ и проекцией $PA'$ в плоскости $\alpha$.

Возьмем наклонную $L$ как вектор $\vec{u}$ и прямую $M$ как вектор $\vec{v}$. Угол $\phi$ между ними определяется как $\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Представим точку $P$ как начало координат $(0,0,0)$. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость $xy$ ($z=0$).Пусть проекция $PA'$ лежит вдоль оси $x$. Тогда точка $A'$ имеет координаты $(d, 0, 0)$ для некоторого $d > 0$. Точка $A$ на наклонной $L$ будет иметь координаты $(d, 0, h)$ для некоторого $h > 0$.Вектор направления наклонной $L$ равен $\vec{u} = (d, 0, h)$.Вектор направления прямой $M$ в плоскости $xy$, проходящей через начало координат, можно представить как $\vec{v} = (\cos \psi, \sin \psi, 0)$, где $\psi$ - угол между $M$ и осью $x$ (т.е. проекцией $PA'$).

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:$\vec{u} \cdot \vec{v} = d \cdot \cos \psi + 0 \cdot \sin \psi + h \cdot 0 = d \cos \psi$.$|\vec{u}| = \sqrt{d^2 + h^2}$.$|\vec{v}| = \sqrt{\cos^2 \psi + \sin^2 \psi + 0^2} = 1$.

Тогда косинус угла $\phi$ между $L$ и $M$ равен:$\cos \phi = \frac{|d \cos \psi|}{\sqrt{d^2 + h^2}}$.

Угол $\theta$ между наклонной $L$ и плоскостью $\alpha$ (то есть между $L$ и ее проекцией $PA'$) определяется как $\cos \theta = \frac{PA'}{PA} = \frac{d}{\sqrt{d^2 + h^2}}$.

Подставляя это в формулу для $\cos \phi$, получаем:$\cos \phi = |\cos \theta \cdot \cos \psi|$.

Для того чтобы угол $\phi$ был наибольшим (в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$), его косинус $\cos \phi$ должен быть наименьшим (стремиться к 0).Так как $\cos \theta$ всегда положительно (поскольку $\theta$ - острый угол), минимальное значение $\cos \phi$ достигается, когда $|\cos \psi|$ минимально.Минимальное значение $|\cos \psi|$ равно 0. Это происходит, когда $\psi = 90^\circ$.

Когда $\psi = 90^\circ$, прямая $M$ перпендикулярна проекции $PA'$ наклонной $L$ в плоскости $\alpha$.В этом случае:$\cos \phi = |\cos \theta \cdot 0| = 0$.Следовательно, $\phi = 90^\circ$.

Этот результат согласуется с теоремой о трех перпендикулярах. Согласно этой теореме, если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. То есть, если $M \perp PA'$, то $M \perp AP$. Таким образом, угол между $L$ и $M$ равен $90^\circ$.

Поскольку угол между двумя прямыми (по стандартному определению) не может превышать $90^\circ$, угол $90^\circ$ является наибольшим возможным значением.

Ответ: Наибольший угол будет равен $90^\circ$.

Вопросы

1. Что называется углом между наклонной и плоскостью?

2. Какой угол считается углом между прямой, перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью?

3. Что называется углом между отрезком и плоскостью?

1. Что называется углом между наклонной и плоскостью? Ответ: Углом между наклонной и плоскостью называется острый угол, образованный этой наклонной и её ортогональной проекцией на данную плоскость.

2. Какой угол считается углом между прямой, перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью? Ответ: Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между этой прямой и плоскостью считается равным $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

3. Что называется углом между отрезком и плоскостью? Ответ: Углом между отрезком и плоскостью называется угол между этим отрезком и его проекцией на данную плоскость.

16.1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 16.5) найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью:

а) $ABC$;

б) $BCC_1$;

в) $BCD_1$.

Рис. 16.5

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Прямая $AB_1$.

Плоскости: $ABC$, $BCC_1$, $BCD_1$.

Найти:

Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью:

а) $ABC$

б) $BCC_1$

в) $BCD_1$

Решение:

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^\circ$.

а) ABC

Чтобы найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$, найдем проекцию прямой $AB_1$ на эту плоскость. Точка $A$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $A$. Для нахождения проекции точки $B_1$ на плоскость $ABC$, опустим перпендикуляр из $B_1$ на эту плоскость. В кубе ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$ является точка $B$. Таким образом, проекция прямой $AB_1$ на плоскость $ABC$ — это отрезок $AB$. Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и ее проекцией $AB$, то есть угол $\angle B_1AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (прямой угол при вершине $B$). В кубе все ребра равны, поэтому $AB = BB_1 = a$. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ тангенс угла $\angle B_1AB$ равен отношению противолежащего катета $BB_1$ к прилежащему катету $AB$: $\tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{a}{a} = 1$. Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle B_1AB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) BCC₁

Чтобы найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$, найдем проекцию прямой $AB_1$ на эту плоскость. Точка $B_1$ лежит в плоскости $BCC_1$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $B_1$. Для нахождения проекции точки $A$ на плоскость $BCC_1$, опустим перпендикуляр из $A$ на эту плоскость. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$ (так как $ABCD$ — квадрат) и перпендикулярно ребру $BB_1$ (так как $ABB_1A_1$ — квадрат). Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BB_1$, лежащим в плоскости $BCC_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1$. Следовательно, проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$ является точка $B$. Таким образом, проекция прямой $AB_1$ на плоскость $BCC_1$ — это отрезок $BB_1$. Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и ее проекцией $BB_1$, то есть угол $\angle AB_1B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (прямой угол при вершине $B$). В кубе $AB = BB_1 = a$. Тангенс угла $\angle AB_1B$ равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $BB_1$: $\tan(\angle AB_1B) = \frac{AB}{BB_1} = \frac{a}{a} = 1$. Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle AB_1B = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) BCD₁

Чтобы найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCD_1$, воспользуемся методом координат. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба равна $a$. Координаты вершин, необходимых для решения: $A = (0,0,0)$ $B = (a,0,0)$ $C = (a,a,0)$ $B_1 = (a,0,a)$ $D_1 = (0,a,a)$

Направляющий вектор прямой $AB_1$ — это вектор $\vec{AB_1}$: $\vec{v} = \vec{AB_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$.

Для определения плоскости $BCD_1$ используем точки $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{BC} = C - B = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$ $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a,0,a)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{CD_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - a \cdot (-a))$ $\vec{n} = a^2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (a^2, 0, a^2)$. Для удобства расчетов можно использовать более простой нормальный вектор, пропорциональный $(a^2,0,a^2)$, например, $(1,0,1)$ (поделив на $a^2$).

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью определяется формулой: $\sin(\alpha) = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{v} |}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{v}$: $\vec{n} \cdot \vec{v} = (1,0,1) \cdot (a,0,a) = 1 \cdot a + 0 \cdot 0 + 1 \cdot a = a + a = 2a$.

Вычислим модули векторов: $||\vec{n}|| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$ $||\vec{v}|| = \sqrt{a^2+0^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим значения в формулу для синуса угла: $\sin(\alpha) = \frac{|2a|}{\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{2a}{2a} = 1$.

Поскольку $\sin(\alpha) = 1$, то угол $\alpha = 90^\circ$.

Геометрическое подтверждение: 1. Проверим, перпендикулярна ли прямая $AB_1$ прямой $BC$. Вектор $\vec{BC} = (0,a,0)$. Скалярное произведение $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC} = (a,0,a) \cdot (0,a,0) = a \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot 0 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $AB_1$ и $BC$ перпендикулярны. 2. Проверим, перпендикулярна ли прямая $AB_1$ прямой $CD_1$. Вектор $\vec{CD_1} = (-a,0,a)$. Скалярное произведение $\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = (a,0,a) \cdot (-a,0,a) = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + a \cdot a = -a^2 + a^2 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $AB_1$ и $CD_1$ перпендикулярны. Поскольку прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CD_1$, которые лежат в плоскости $BCD_1$, то прямая $AB_1$ перпендикулярна всей плоскости $BCD_1$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCD_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

16.2. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите тангенс угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$ (рис. 16.5).

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $BD_1$.

Плоскость $ABC$.

Найти:

Тангенс угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Для того чтобы найти угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$, необходимо найти проекцию прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Проекцией точки $B$ на плоскость $ABC$ является сама точка $B$, так как $B$ лежит в этой плоскости.

Для нахождения проекции точки $D_1$ на плоскость $ABC$ опустим перпендикуляр из точки $D_1$ на плоскость $ABC$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является кубом, ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$ является точка $D$.

Таким образом, проекцией прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $BD$.

Искомый угол - это угол между прямой $BD_1$ и её проекцией $BD$, то есть $\angle D_1BD$.

Рассмотрим треугольник $D_1DB$.

Так как ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости $ABC$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D$. В частности, $D_1D \perp DB$.

Следовательно, треугольник $D_1DB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда:

Длина катета $D_1D$ равна длине ребра куба: $D_1D = a$.

Длина катета $DB$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора: $DB = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Для угла $\angle D_1BD$:

Противолежащий катет: $D_1D$

Прилежащий катет: $DB$

Следовательно, $\tan(\angle D_1BD) = \frac{D_1D}{DB}$.

Подставим значения длин сторон:

$\tan(\angle D_1BD) = \frac{a}{a\sqrt{2}}$.

Сократим $a$ в числителе и знаменателе:

$\tan(\angle D_1BD) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\tan(\angle D_1BD) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

16.3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 (рис. 16.6). Найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC.

Рис. 16.6

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1.

$AB = BC = CD = DA = 1$ (сторона основания).

$SA = SB = SC = SD = 1$ (боковые ребра).

Перевод в систему СИ:

Длина любого ребра $a = 1$.

Найти:

Угол между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее вершина $S$ проецируется в центр основания $ABCD$. Обозначим эту проекцию как $H$.

Основание $ABCD$ - это квадрат со стороной $AB = 1$. Центр квадрата $H$ находится на пересечении его диагоналей $AC$ и $BD$.

Проекцией прямой $SA$ на плоскость $ABC$ является прямая $AH$. Следовательно, искомый угол - это $\angle SAH$.

Рассмотрим диагональ $AC$ квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

Для квадрата $ABCD$ со стороной $AB = 1$, длина диагонали $AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Точка $H$ - это середина диагонали $AC$, поэтому $AH = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHA$. Угол $\angle SHA$ равен $90^\circ$, так как $SH$ - высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания $ABC$.

В этом треугольнике нам известны:

гипотенуза $SA = 1$ (боковое ребро пирамиды);

катет $AH = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике: косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos(\angle SAH) = \frac{AH}{SA}$

$\cos(\angle SAH) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $45^\circ$.

Следовательно, $\angle SAH = 45^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$ равен $45^\circ$.

16.4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 16.7). Найдите угол между:

а) прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$;

б) прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

$AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

а) угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$.

б) угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение

а) прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

1. Прямая $AB_1$ и плоскость $ABC$ имеют общую точку $A$.

2. Проекция точки $B_1$ на плоскость $ABC$ - это точка $B$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ (по свойству правильной призмы).

3. Следовательно, проекция прямой $AB_1$ на плоскость $ABC$ - это прямая $AB$.

4. Искомый угол - это угол между прямой $AB_1$ и ее проекцией $AB$, то есть $\angle B_1AB$.

5. Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через $B$. В частности, $BB_1 \perp AB$.

6. Таким образом, $\triangle ABB_1$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$.

7. Известно, что $AB = 1$ (ребро основания) и $BB_1 = 1$ (боковое ребро).

8. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ тангенс угла $\angle B_1AB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{1}{1} = 1$

9. Отсюда $\angle B_1AB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$

1. Прямая $AB$ и плоскость $BCC_1$ (плоскость боковой грани $BCC_1B_1$) имеют общую точку $B$.

2. Для нахождения угла между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$ необходимо найти проекцию точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Пусть $H$ - проекция точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Тогда $AH \perp BCC_1$.

3. Рассмотрим основание $ABC$. Это равносторонний треугольник, так как призма правильная и все ребра равны 1. Проведем высоту $AH$ в треугольнике $ABC$ к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому $H$ - середина $BC$, и $AH \perp BC$.

4. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1 \perp AH$.

5. Таким образом, прямая $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BB_1$, лежащим в плоскости $BCC_1$. Из этого следует, что $AH$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

6. Значит, точка $H$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$.

7. Проекция прямой $AB$ на плоскость $BCC_1$ - это прямая $BH$.

8. Искомый угол - это угол между прямой $AB$ и ее проекцией $BH$, то есть $\angle ABH$.

9. В равностороннем треугольнике $ABC$ все углы равны $60^\circ$. Угол $\angle ABC = 60^\circ$.

10. Так как точка $H$ лежит на отрезке $BC$, угол $\angle ABH$ совпадает с углом $\angle ABC$.

11. Следовательно, $\angle ABH = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$