gdz.top
Номер 16.3, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1146-4
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава II. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 16. Угол между прямой и плоскостью - номер 16.3, страница 91.
№16.2
№16.3 (с. 91)
Условие. №16.3 (с. 91)
16.3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 (рис. 16.6). Найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC.
Рис. 16.6
Решение. №16.3 (с. 91)
Решение 2 (rus). №16.3 (с. 91)
Дано:
Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Все ребра равны 1.
$AB = BC = CD = DA = 1$ (сторона основания).
$SA = SB = SC = SD = 1$ (боковые ребра).
Перевод в систему СИ:
Длина любого ребра $a = 1$.
Найти:
Угол между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$.
Решение:
Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее вершина $S$ проецируется в центр основания $ABCD$. Обозначим эту проекцию как $H$.
Основание $ABCD$ - это квадрат со стороной $AB = 1$. Центр квадрата $H$ находится на пересечении его диагоналей $AC$ и $BD$.
Проекцией прямой $SA$ на плоскость $ABC$ является прямая $AH$. Следовательно, искомый угол - это $\angle SAH$.
Рассмотрим диагональ $AC$ квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.
Для квадрата $ABCD$ со стороной $AB = 1$, длина диагонали $AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Точка $H$ - это середина диагонали $AC$, поэтому $AH = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHA$. Угол $\angle SHA$ равен $90^\circ$, так как $SH$ - высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания $ABC$.
В этом треугольнике нам известны:
гипотенуза $SA = 1$ (боковое ребро пирамиды);
катет $AH = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике: косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\angle SAH) = \frac{AH}{SA}$
$\cos(\angle SAH) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $45^\circ$.
Следовательно, $\angle SAH = 45^\circ$.
Ответ:
Угол между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$ равен $45^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 16.3 расположенного на странице 91 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №16.3 (с. 91), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.