Номер 16.9, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Синус угла $\alpha$ между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Для определения синуса угла между прямой и плоскостью воспользуемся методом координат.

Расположим призму в декартовой системе координат следующим образом:

• Точка $B$ находится в начале координат: $B(0,0,0)$.

• Ребро $BC$ расположим вдоль оси $Ox$. Так как все ребра призмы равны 1, то $BC = 1$. Следовательно, $C(1,0,0)$.

• Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ (так как призма правильная). Расположим $BB_1$ вдоль оси $Oz$. Тогда $B_1(0,0,1)$.

• Для нахождения координат точки $A$: треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной 1. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $h = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Координата $x$ точки $A$ будет равна половине длины $BC$, т.е. $0.5$. Координата $y$ точки $A$ будет равна высоте треугольника, т.е. $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Координата $z$ точки $A$ равна 0, так как точка $A$ лежит в плоскости $Oxy$ (плоскости основания).

Таким образом, координаты точек: $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B(0,0,0)$, $C(1,0,0)$, $B_1(0,0,1)$.

1. Найдем вектор, направляющий прямую $AB_1$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (0 - 0.5, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Длина вектора $\vec{AB_1}$:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 0.75 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $BCC_1$.

Плоскость $BCC_1$ проходит через точки $B(0,0,0)$, $C(1,0,0)$ и $B_1(0,0,1)$. Заметим, что все эти точки имеют $y$-координату равную 0. Это означает, что плоскость $BCC_1$ совпадает с координатной плоскостью $Oxz$. Уравнение плоскости $Oxz$ есть $y=0$. Нормальный вектор к этой плоскости - это $\vec{n} = (0,1,0)$.

3. Вычислим синус угла $\alpha$ между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Синус угла $\alpha$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{v}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) вычисляется по формуле:

$\sin(\alpha) = \left|\frac{\vec{n} \cdot \vec{v}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}|}\right|$.

Подставим значения:

Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{AB_1} = (0) \cdot (-0.5) + (1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (0) \cdot (1) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Длина нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Таким образом,

$\sin(\alpha) = \left|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 \cdot \sqrt{2}}\right| = \left|-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right| = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$