Номер 16.8, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.8. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите тангенс угла между прямой $CC_1$ и плоскостью $AB D_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Тангенс угла между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABD_1$.

Решение:

1. Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Пусть ребро куба равно $a$. Оси $x$, $y$, $z$ направим по ребрам $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин будут: $A = (0, 0, 0)$, $B = (a, 0, 0)$, $C = (a, a, 0)$, $D = (0, a, 0)$, $A_1 = (0, 0, a)$, $B_1 = (a, 0, a)$, $C_1 = (a, a, a)$, $D_1 = (0, a, a)$.

2. Найдем направляющий вектор прямой $CC_1$. Вектор $\vec{CC_1} = \vec{C_1} - \vec{C} = (a, a, a) - (a, a, 0) = (0, 0, a)$. Для вычислений можно использовать более простой сонаправленный вектор $\vec{l} = (0, 0, 1)$.

3. Найдем нормальный вектор плоскости $ABD_1$. Плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$ и $D_1(0, a, a)$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{AB} = B - A = (a, 0, 0)$ и $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0, a, a)$. Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен этим двум векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD_1} = \det \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \vec{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = (0, -a^2, a^2)$.

Для удобства вычислений возьмем сонаправленный нормальный вектор $\vec{n} = (0, -1, 1)$ (путем деления на $-a^2$).

4. Угол $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{l}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (0)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.

Вычислим длины векторов: $||\vec{l}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$ и $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Поскольку $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, угол $\phi = 45^\circ$ или $\phi = \frac{\pi}{4}$ радиан.

5. Наконец, найдем тангенс этого угла:

$\tan \phi = \tan(45^\circ) = 1$.

Ответ: $1$