Номер 16.7, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.7. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 16.6). Найдите косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Рис. 16.6

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны $1$.

Найти:

Косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Решение:

Обозначим длину всех ребер за $a=1$.

Введем декартову систему координат. Пусть начало координат $O$ находится в центре основания $ABCD$.

Основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a=1$.

Длина диагонали основания $AC = BD = a\sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Расстояние от центра основания до любой вершины основания $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $SO = h$. В правильной четырехугольной пирамиде высота опускается в центр основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. $SA$ является боковым ребром и равно $1$.

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$1^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$1 = h^2 + \frac{2}{4}$

$1 = h^2 + \frac{1}{2}$

$h^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$h^2 = \frac{1}{2}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, вершина $S$ имеет координаты $S\left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вершины основания: $A\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$, $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$, $C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$, $D\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Угол между прямой и плоскостью можно найти по формуле $\sin\alpha = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$, где $\vec{l}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ - вектор нормали к плоскости.

1. Направляющий вектор прямой $AB$:

Вектор $\vec{AB}$ можно найти как разность координат точек $B$ и $A$:

$\vec{l} = \vec{AB} = B - A = \left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), 0 - 0\right) = (1, 0, 0)$.

Длина вектора $||\vec{l}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

2. Вектор нормали к плоскости $SBC$:

Для определения вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости $SBC$ возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$.

$\vec{SB} = B - S = \left(\frac{1}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

$\vec{SC} = C - S = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен этим двум векторам и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i} \left( (-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) \right) - \mathbf{j} \left( (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) \right) + \mathbf{k} \left( (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) \right)$

$\vec{n} = \mathbf{i} \left( \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right)$

$\vec{n} = \left(\frac{2\sqrt{2}}{4}, 0, \frac{2}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{1}{2}\right)$.

Длина вектора нормали $||\vec{n}|| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + 0 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Расчет синуса угла между прямой и плоскостью:

Скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали к плоскости:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (1, 0, 0) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим синус угла $\alpha$ между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$:

$\sin\alpha = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||} = \frac{\left|\frac{\sqrt{2}}{2}\right|}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

4. Расчет косинуса угла:

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Поскольку угол между прямой и плоскостью по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, его косинус должен быть неотрицательным.

$\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$