Номер 16.14, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.14. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ – середина ребра $CC_1$. Докажите, что прямые $AD$ и $A_1B$ перпендикулярны.

Дано

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Точка $D$ - середина ребра $CC_1$.

Найти:

Доказать, что прямые $AD$ и $A_1B$ перпендикулярны.

Решение

Для доказательства перпендикулярности прямых $AD$ и $A_1B$ воспользуемся методом координат. Если скалярное произведение векторов, лежащих на этих прямых, равно нулю, то прямые перпендикулярны.

1. Выберем систему координат.

Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$.

Пусть ребро $AB$ лежит на оси $Ox$. Тогда координаты $B = (1,0,0)$, так как длина ребра $AB=1$.

Так как призма правильная, основание $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной 1. Координаты вершины $C$ для равностороннего треугольника со стороной $a=1$ с вершинами $A=(0,0,0)$ и $B=(1,0,0)$ будут $C = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию и имеет длину 1. Направим ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Тогда $A_1 = (0,0,1)$.

Исходя из координат вершин нижнего основания и высоты призмы, найдем координаты вершин верхнего основания:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (1,0,1)$

$C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

2. Найдем координаты точки D.

Точка $D$ является серединой ребра $CC_1$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:

$D = \left(\frac{x_C+x_{C_1}}{2}, \frac{y_C+y_{C_1}}{2}, \frac{z_C+z_{C_1}}{2}\right)$

$D = \left(\frac{1/2+1/2}{2}, \frac{\sqrt{3}/2+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+1}{2}\right)$

$D = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$

3. Найдем векторы $\vec{AD}$ и $\vec{A_1B}$.

Вектор $\vec{AD}$ имеет координаты $D - A$:

$\vec{AD} = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 1/2 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1/2)$

Вектор $\vec{A_1B}$ имеет координаты $B - A_1$:

$\vec{A_1B} = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 1) = (1, 0, -1)$

4. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{A_1B}$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)$ и $\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{AD} \cdot \vec{A_1B} = (1/2) \cdot (1) + (\sqrt{3}/2) \cdot (0) + (1/2) \cdot (-1)$

$\vec{AD} \cdot \vec{A_1B} = 1/2 + 0 - 1/2$

$\vec{AD} \cdot \vec{A_1B} = 0$

5. Заключение.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{A_1B}$ равно нулю, это означает, что эти векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые $AD$ и $A_1B$, на которых лежат эти векторы, также перпендикулярны.

Ответ: Прямые $AD$ и $A_1B$ перпендикулярны.