Номер 16.16, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.16. Дворец мира и согласия в г. Нур-Султане имеет форму правильной четырехугольной пирамиды (см. рис. 12.14, § 12), в которой высота равна стороне основания. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания этой пирамиды.

Дано:

• Пирамида: правильная четырехугольная.
• Высота пирамиды $h$ равна стороне основания $a$. То есть, $h = a$.

В данной задаче все величины представлены в условных единицах или как соотношения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

• Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания ($\tan \alpha$).

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть сторона основания квадрата $ABCD$ равна $a$. Высота пирамиды $SO$ (где $O$ — центр основания) равна $h$. По условию задачи, высота пирамиды равна стороне основания, то есть $h = a$.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между боковым ребром (например, $SA$) и его проекцией на плоскость основания ($AO$). Таким образом, нам нужно найти тангенс угла $\angle SAO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAO$. Катет $SO$ является высотой пирамиды, а катет $AO$ — это половина диагонали основания.

Длина диагонали $d$ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле: $d = a\sqrt{2}$

Длина отрезка $AO$ (половина диагонали) равна: $AO = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. В треугольнике $SAO$: $\tan(\angle SAO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{SO}{AO}$

Подставим известные значения: $SO = h = a$ и $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$: $\tan(\angle SAO) = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}$

Упростим выражение: $\tan(\angle SAO) = \frac{a \cdot 2}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $\tan(\angle SAO) = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$