Номер 17.2, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.2. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярны плоскости:

а) $ABC$ и $BDD_1$;

б) $ACC_1$ и $BDD_1$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Доказать, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярны плоскости: а) $ABC$ и $BDD_1$; б) $ACC_1$ и $BDD_1$.

a) $ABC$ и $BDD_1$

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей достаточно показать, что одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Рассмотрим плоскость основания куба $ABC$ (которая является плоскостью $ABCD$).

Рассмотрим плоскость $BDD_1$. Эта плоскость содержит прямые $BD$ и $DD_1$.

В квадрате $ABCD$ (основание куба) диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Ребро $DD_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, поскольку $DD_1$ является ребром, перпендикулярным основанию куба. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $ABCD$, то $DD_1 \perp AC$.

Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$, которые лежат в плоскости $BDD_1$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Плоскость $ABC$ содержит прямую $AC$.

Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскость $ABC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Ответ: Доказано.

б) $ACC_1$ и $BDD_1$

Аналогично, для доказательства перпендикулярности плоскостей $ACC_1$ и $BDD_1$ достаточно найти прямую в одной плоскости, перпендикулярную другой.

Рассмотрим плоскость $ACC_1$. Эта плоскость содержит прямые $AC$ и $CC_1$.

Рассмотрим плоскость $BDD_1$. Эта плоскость содержит прямые $BD$ и $DD_1$.

В квадрате $ABCD$ (основание куба) диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Следовательно, $BD \perp AC$.

Ребро $CC_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, поскольку $CC_1$ является ребром, перпендикулярным основанию куба. Так как прямая $BD$ лежит в плоскости $ABCD$, то $CC_1 \perp BD$.

Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $CC_1$, которые лежат в плоскости $ACC_1$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

Плоскость $BDD_1$ содержит прямую $BD$.

Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскость $BDD_1$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

Ответ: Доказано.