Страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется двугранным углом?

2. Что называется: а) гранями двугранного угла; б) ребром двугранного угла?

3. Что называется линейным углом двугранного угла?

4. Что называется величиной двугранного угла?

5. Какой двугранный угол называется прямым?

6. Что называется углом между двумя пересекающимися плоскостями?

7. Какие две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными?

8. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

1. Что называется двугранным углом?

Двугранным углом называется геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, имеющими общую прямую-границу.

2. Что называется: а) гранями двугранного угла; б) ребром двугранного угла?

а) Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.
б) Общая прямая, ограничивающая эти полуплоскости, называется ребром двугранного угла.

3. Что называется линейным углом двугранного угла?

Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя лучами, проведенными в гранях двугранного угла из одной точки на ребре перпендикулярно ребру.

4. Что называется величиной двугранного угла?

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

5. Какой двугранный угол называется прямым?

Двугранный угол называется прямым, если его линейный угол равен $90^\circ$.

6. Что называется углом между двумя пересекающимися плоскостями?

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Иначе говоря, это величина того линейного угла, который не превосходит $90^\circ$.

7. Какие две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными?

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$ (то есть они образуют прямые двугранные углы).

8. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

17.1. Найдите двугранные углы, образованные соседними гранями куба (рис. 17.10).

Рис. 17.10

Дано:

Куб (изображение 17.10).

Найти:

Двугранные углы, образованные соседними гранями куба.

Решение:

Куб — это правильный многогранник, у которого все грани являются квадратами, а все ребра равны по длине. Соседние грани куба пересекаются по ребру. Например, рассмотрим две соседние грани куба: грань $ABCD$ (нижнее основание) и грань $BCC_1B_1$ (боковая грань).

Эти две грани пересекаются по общему ребру $BC$.

Двугранный угол между двумя плоскостями (гранями) определяется как угол между двумя прямыми, каждая из которых лежит в одной из плоскостей, и обе перпендикулярны к общей линии их пересечения в одной и той же точке.

Возьмем точку $B$ на общем ребре $BC$.

В грани $ABCD$ (которая является квадратом), ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$ (то есть $AB \perp BC$), так как углы квадрата равны $90^\circ$.

В грани $BCC_1B_1$ (которая также является квадратом), ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру $BC$ (то есть $BB_1 \perp BC$), так как углы квадрата равны $90^\circ$.

Таким образом, прямые $AB$ и $BB_1$ лежат в соседних гранях, перпендикулярны общему ребру $BC$ и пересекаются в точке $B$. Угол между этими двумя прямыми, $\angle ABB_1$, является двугранным углом между гранями $ABCD$ и $BCC_1B_1$.

Поскольку $ABB_1A_1$ является одной из граней куба (которая также является квадратом), то угол $\angle ABB_1$ равен $90^\circ$.

Все грани куба являются квадратами, и все пары соседних граней расположены относительно друг друга одинаково, поэтому все двугранные углы куба равны.

Ответ:

Двугранные углы, образованные соседними гранями куба, равны $90^\circ$.

17.2. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярны плоскости:

а) $ABC$ и $BDD_1$;

б) $ACC_1$ и $BDD_1$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Доказать, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярны плоскости: а) $ABC$ и $BDD_1$; б) $ACC_1$ и $BDD_1$.

a) $ABC$ и $BDD_1$

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей достаточно показать, что одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Рассмотрим плоскость основания куба $ABC$ (которая является плоскостью $ABCD$).

Рассмотрим плоскость $BDD_1$. Эта плоскость содержит прямые $BD$ и $DD_1$.

В квадрате $ABCD$ (основание куба) диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Ребро $DD_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, поскольку $DD_1$ является ребром, перпендикулярным основанию куба. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $ABCD$, то $DD_1 \perp AC$.

Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$, которые лежат в плоскости $BDD_1$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Плоскость $ABC$ содержит прямую $AC$.

Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскость $ABC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Ответ: Доказано.

б) $ACC_1$ и $BDD_1$

Аналогично, для доказательства перпендикулярности плоскостей $ACC_1$ и $BDD_1$ достаточно найти прямую в одной плоскости, перпендикулярную другой.

Рассмотрим плоскость $ACC_1$. Эта плоскость содержит прямые $AC$ и $CC_1$.

Рассмотрим плоскость $BDD_1$. Эта плоскость содержит прямые $BD$ и $DD_1$.

В квадрате $ABCD$ (основание куба) диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Следовательно, $BD \perp AC$.

Ребро $CC_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, поскольку $CC_1$ является ребром, перпендикулярным основанию куба. Так как прямая $BD$ лежит в плоскости $ABCD$, то $CC_1 \perp BD$.

Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $CC_1$, которые лежат в плоскости $ACC_1$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

Плоскость $BDD_1$ содержит прямую $BD$.

Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскость $BDD_1$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

Ответ: Доказано.

17.3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите углы между плоскостями $ABC$ и $CDA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $CDA_1$.

Решение:

17.3. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Плоскость $ABC$ — это нижняя грань куба.Плоскость $CDA_1$ — это плоскость, проходящая через точки $C$, $D$, $A_1$.

Линия пересечения плоскостей $ABC$ и $CDA_1$ — это прямая $CD$, так как точки $C$ и $D$ принадлежат обеим плоскостям.

Для нахождения угла между плоскостями выберем точку на линии пересечения, например, точку $D$.

В плоскости $ABC$ проведем прямую $AD$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AD \perp CD$.

В плоскости $CDA_1$ найдем прямую, перпендикулярную $CD$ и проходящую через $D$.Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Эта грань перпендикулярна прямой $CD$, поскольку $CD \perp AD$ (как стороны квадрата) и $CD \perp DD_1$ (ребра куба перпендикулярны).Так как прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $D$.Прямая $A_1D$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и проходит через $D$.Следовательно, $A_1D \perp CD$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $CDA_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $A_1D$, то есть $\angle A_1DA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AD$. Катет $AD = a$ (ребро куба), катет $AA_1 = a$ (ребро куба).

Так как $AD = AA_1 = a$, треугольник $A_1AD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны $45^\circ$.Следовательно, $\angle A_1DA = 45^\circ$.

Также можно решить задачу методом координат.Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$.Пусть ребро куба равно $a$.Тогда координаты вершин будут:$D = (0,0,0)$$A = (0,a,0)$$C = (a,0,0)$$A_1 = (0,a,a)$

Плоскость $ABC$ — это плоскость $z=0$. Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n_1} = (0,0,1)$.

Плоскость $CDA_1$ проходит через точки $C(a,0,0)$, $D(0,0,0)$, $A_1(0,a,a)$.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:$\vec{DC} = C - D = (a,0,0)$$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $CDA_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DC} \times \vec{DA_1}$:$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = (0, -a^2, a^2)$.

Для удобства можем взять $\vec{n_2} = (0, -1, 1)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется по формуле:$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Вычислим скалярное произведение:$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.

Вычислим длины векторов:$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.$||\vec{n_2}|| = \sqrt{0^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:$\cos\theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

17.4. Найдите двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями правильной треугольной призмы (рис. 17.11).

Рис. 17.11

Дано:

Правильная треугольная призма (см. рис. 17.11).

Найти:

Двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями.

Решение:

Правильная треугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. Пусть основаниями призмы являются треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковыми гранями — прямоугольники $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$, $CC_1A_1A$.

Двугранный угол, образованный двумя плоскостями, измеряется линейным углом. Линейный угол — это угол, образованный двумя лучами, лежащими в этих плоскостях, перпендикулярными к линии их пересечения и исходящими из одной точки на этой линии.

Рассмотрим две соседние боковые грани, например, $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$. Линией их пересечения является общее боковое ребро $BB_1$.

Поскольку призма является правильной и прямой, то все её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

В плоскости основания $ABC$ из вершины $B$ (точки на ребре $BB_1$) проведём отрезки $BA$ и $BC$. Поскольку $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $BB_1$ перпендикулярно любому отрезку, лежащему в этой плоскости и проходящему через точку $B$. Таким образом, $BB_1 \perp BA$ и $BB_1 \perp BC$.

Отрезок $BA$ лежит в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$.

Отрезок $BC$ лежит в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$.

Следовательно, угол между отрезками $BA$ и $BC$, то есть $\angle ABC$, является линейным углом двугранного угла между боковыми гранями $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$.

По определению правильной треугольной призмы, её основание — это равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$.

Таким образом, $\angle ABC = 60^\circ$.

Аналогично, для любой другой пары соседних боковых граней двугранный угол будет определяться соответствующим углом в основании.

Для боковых граней $BB_1C_1C$ и $CC_1A_1A$ общим ребром является $CC_1$, и линейный угол двугранного угла будет $\angle BCA$, который также равен $60^\circ$.

Для боковых граней $CC_1A_1A$ и $AA_1B_1B$ общим ребром является $AA_1$, и линейный угол двугранного угла будет $\angle CAB$, который также равен $60^\circ$.

Все двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями правильной треугольной призмы, равны $60^\circ$.

Ответ:

Все двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями правильной треугольной призмы, равны $60^\circ$.