Номер 17.3, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите углы между плоскостями $ABC$ и $CDA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $CDA_1$.

Решение:

17.3. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Плоскость $ABC$ — это нижняя грань куба.Плоскость $CDA_1$ — это плоскость, проходящая через точки $C$, $D$, $A_1$.

Линия пересечения плоскостей $ABC$ и $CDA_1$ — это прямая $CD$, так как точки $C$ и $D$ принадлежат обеим плоскостям.

Для нахождения угла между плоскостями выберем точку на линии пересечения, например, точку $D$.

В плоскости $ABC$ проведем прямую $AD$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AD \perp CD$.

В плоскости $CDA_1$ найдем прямую, перпендикулярную $CD$ и проходящую через $D$.Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Эта грань перпендикулярна прямой $CD$, поскольку $CD \perp AD$ (как стороны квадрата) и $CD \perp DD_1$ (ребра куба перпендикулярны).Так как прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $D$.Прямая $A_1D$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и проходит через $D$.Следовательно, $A_1D \perp CD$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $CDA_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $A_1D$, то есть $\angle A_1DA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AD$. Катет $AD = a$ (ребро куба), катет $AA_1 = a$ (ребро куба).

Так как $AD = AA_1 = a$, треугольник $A_1AD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны $45^\circ$.Следовательно, $\angle A_1DA = 45^\circ$.

Также можно решить задачу методом координат.Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$.Пусть ребро куба равно $a$.Тогда координаты вершин будут:$D = (0,0,0)$$A = (0,a,0)$$C = (a,0,0)$$A_1 = (0,a,a)$

Плоскость $ABC$ — это плоскость $z=0$. Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n_1} = (0,0,1)$.

Плоскость $CDA_1$ проходит через точки $C(a,0,0)$, $D(0,0,0)$, $A_1(0,a,a)$.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:$\vec{DC} = C - D = (a,0,0)$$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $CDA_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DC} \times \vec{DA_1}$:$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = (0, -a^2, a^2)$.

Для удобства можем взять $\vec{n_2} = (0, -1, 1)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется по формуле:$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Вычислим скалярное произведение:$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.

Вычислим длины векторов:$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.$||\vec{n_2}|| = \sqrt{0^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:$\cos\theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.