Номер 16.13, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.13. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Найдите косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

$\cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр правильного шестиугольника $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку шестиугольник правильный, расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны основания, т.е. $1$.

Координаты вершин основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершина пирамиды $S$ находится на оси $z$. Пусть ее координаты $S = (0,0,h)$. Расстояние от $S$ до любой вершины основания равно длине бокового ребра $l=2$. Например, $SA = 2$. $SA^2 = (1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-h)^2 = 1^2 + h^2 = 1 + h^2$. По условию $SA^2 = 2^2 = 4$. $1 + h^2 = 4 \Rightarrow h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$. Таким образом, координаты вершины $S = (0,0,\sqrt{3})$.

Найдем вектор направления прямой $AB$:

$\vec{v}_{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Длина вектора $AB$:

$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью, нам нужен нормальный вектор плоскости $SBC$. Возьмем два вектора, лежащие в плоскости $SBC$: $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$.

$\vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

$\vec{SC} = C - S = (-1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $SBC$ найдем как векторное произведение $\vec{SB} \times \vec{SC}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$

$\vec{n}_x = (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(\sqrt{3}/2) = -3/2 + 3/2 = 0$.

$\vec{n}_y = -[(1/2)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(-1/2)] = -[-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2] = -[-\sqrt{3}] = \sqrt{3}$.

$\vec{n}_z = (1/2)(\sqrt{3}/2) - (-1/2)(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 = 2\sqrt{3}/4 = \sqrt{3}/2$.

Итак, нормальный вектор $\vec{n} = (0, \sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$.

Длина нормального вектора:

$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 3 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Угол $\alpha$ между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$ определяется формулой $\sin\alpha = \frac{|\vec{v}_{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}_{AB}| \cdot |\vec{n}|}$.

Скалярное произведение $\vec{v}_{AB} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v}_{AB} \cdot \vec{n} = (-1/2)(0) + (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}) + (0)(\sqrt{3}/2) = 0 + 3/2 + 0 = 3/2$.

Теперь вычислим $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{|3/2|}{1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{3/2}{\sqrt{15}/2} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Теперь найдем $\cos\alpha$ из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{15}{25} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

$\cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{5}$