Номер 16.2, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.2. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите тангенс угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$ (рис. 16.5).

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $BD_1$.

Плоскость $ABC$.

Найти:

Тангенс угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Для того чтобы найти угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$, необходимо найти проекцию прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Проекцией точки $B$ на плоскость $ABC$ является сама точка $B$, так как $B$ лежит в этой плоскости.

Для нахождения проекции точки $D_1$ на плоскость $ABC$ опустим перпендикуляр из точки $D_1$ на плоскость $ABC$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является кубом, ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$ является точка $D$.

Таким образом, проекцией прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $BD$.

Искомый угол - это угол между прямой $BD_1$ и её проекцией $BD$, то есть $\angle D_1BD$.

Рассмотрим треугольник $D_1DB$.

Так как ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости $ABC$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D$. В частности, $D_1D \perp DB$.

Следовательно, треугольник $D_1DB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда:

Длина катета $D_1D$ равна длине ребра куба: $D_1D = a$.

Длина катета $DB$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора: $DB = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Для угла $\angle D_1BD$:

Противолежащий катет: $D_1D$

Прилежащий катет: $DB$

Следовательно, $\tan(\angle D_1BD) = \frac{D_1D}{DB}$.

Подставим значения длин сторон:

$\tan(\angle D_1BD) = \frac{a}{a\sqrt{2}}$.

Сократим $a$ в числителе и знаменателе:

$\tan(\angle D_1BD) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\tan(\angle D_1BD) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$