Номер 16.1, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 16.5) найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью:

а) $ABC$;

б) $BCC_1$;

в) $BCD_1$.

Рис. 16.5

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Прямая $AB_1$.

Плоскости: $ABC$, $BCC_1$, $BCD_1$.

Найти:

Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью:

а) $ABC$

б) $BCC_1$

в) $BCD_1$

Решение:

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^\circ$.

а) ABC

Чтобы найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$, найдем проекцию прямой $AB_1$ на эту плоскость. Точка $A$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $A$. Для нахождения проекции точки $B_1$ на плоскость $ABC$, опустим перпендикуляр из $B_1$ на эту плоскость. В кубе ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$ является точка $B$. Таким образом, проекция прямой $AB_1$ на плоскость $ABC$ — это отрезок $AB$. Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и ее проекцией $AB$, то есть угол $\angle B_1AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (прямой угол при вершине $B$). В кубе все ребра равны, поэтому $AB = BB_1 = a$. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ тангенс угла $\angle B_1AB$ равен отношению противолежащего катета $BB_1$ к прилежащему катету $AB$: $\tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{a}{a} = 1$. Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle B_1AB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) BCC₁

Чтобы найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$, найдем проекцию прямой $AB_1$ на эту плоскость. Точка $B_1$ лежит в плоскости $BCC_1$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $B_1$. Для нахождения проекции точки $A$ на плоскость $BCC_1$, опустим перпендикуляр из $A$ на эту плоскость. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$ (так как $ABCD$ — квадрат) и перпендикулярно ребру $BB_1$ (так как $ABB_1A_1$ — квадрат). Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BB_1$, лежащим в плоскости $BCC_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1$. Следовательно, проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$ является точка $B$. Таким образом, проекция прямой $AB_1$ на плоскость $BCC_1$ — это отрезок $BB_1$. Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и ее проекцией $BB_1$, то есть угол $\angle AB_1B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (прямой угол при вершине $B$). В кубе $AB = BB_1 = a$. Тангенс угла $\angle AB_1B$ равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $BB_1$: $\tan(\angle AB_1B) = \frac{AB}{BB_1} = \frac{a}{a} = 1$. Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle AB_1B = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) BCD₁

Чтобы найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCD_1$, воспользуемся методом координат. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба равна $a$. Координаты вершин, необходимых для решения: $A = (0,0,0)$ $B = (a,0,0)$ $C = (a,a,0)$ $B_1 = (a,0,a)$ $D_1 = (0,a,a)$

Направляющий вектор прямой $AB_1$ — это вектор $\vec{AB_1}$: $\vec{v} = \vec{AB_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$.

Для определения плоскости $BCD_1$ используем точки $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{BC} = C - B = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$ $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a,0,a)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{CD_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - a \cdot (-a))$ $\vec{n} = a^2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (a^2, 0, a^2)$. Для удобства расчетов можно использовать более простой нормальный вектор, пропорциональный $(a^2,0,a^2)$, например, $(1,0,1)$ (поделив на $a^2$).

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью определяется формулой: $\sin(\alpha) = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{v} |}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{v}$: $\vec{n} \cdot \vec{v} = (1,0,1) \cdot (a,0,a) = 1 \cdot a + 0 \cdot 0 + 1 \cdot a = a + a = 2a$.

Вычислим модули векторов: $||\vec{n}|| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$ $||\vec{v}|| = \sqrt{a^2+0^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим значения в формулу для синуса угла: $\sin(\alpha) = \frac{|2a|}{\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{2a}{2a} = 1$.

Поскольку $\sin(\alpha) = 1$, то угол $\alpha = 90^\circ$.

Геометрическое подтверждение: 1. Проверим, перпендикулярна ли прямая $AB_1$ прямой $BC$. Вектор $\vec{BC} = (0,a,0)$. Скалярное произведение $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC} = (a,0,a) \cdot (0,a,0) = a \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot 0 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $AB_1$ и $BC$ перпендикулярны. 2. Проверим, перпендикулярна ли прямая $AB_1$ прямой $CD_1$. Вектор $\vec{CD_1} = (-a,0,a)$. Скалярное произведение $\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = (a,0,a) \cdot (-a,0,a) = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + a \cdot a = -a^2 + a^2 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $AB_1$ и $CD_1$ перпендикулярны. Поскольку прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CD_1$, которые лежат в плоскости $BCD_1$, то прямая $AB_1$ перпендикулярна всей плоскости $BCD_1$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCD_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$