Вопросы, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется ортогональной проекцией точки на плоскость?

2. Что называется ортогональным проектированием на плоскость?

3. Сформулируйте свойства ортогонального проектирования.

4. Что называется наклонной?

5. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

1. Что называется ортогональной проекцией точки на плоскость?

Ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. Если точка лежит на плоскости, то ее ортогональная проекция совпадает с самой точкой.

Ответ:

2. Что называется ортогональным проектированием на плоскость?

Ортогональным проектированием на плоскость называется отображение пространства на эту плоскость, при котором каждая точка пространства переходит в свою ортогональную проекцию на данную плоскость.

Ответ:

3. Сформулируйте свойства ортогонального проектирования.

Свойства ортогонального проектирования включают: 1. Проекцией прямой, не перпендикулярной плоскости проекции, является прямая. 2. Проекцией прямой, перпендикулярной плоскости проекции, является точка. 3. Проекция отрезка на плоскость меньше или равна длине самого отрезка; она равна длине отрезка, если отрезок параллелен плоскости или лежит в ней. 4. Ортогональное проектирование сохраняет параллельность прямых (если они не перпендикулярны плоскости проекции). 5. Ортогональное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. 6. Угол между прямой и ее проекцией называется углом между прямой и плоскостью. Длина проекции отрезка $AB$ на плоскость $P$ равна $AB \cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между отрезком $AB$ и плоскостью $P$.

Ответ:

4. Что называется наклонной?

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий эту точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Основание наклонной – это точка на плоскости, куда опускается наклонная. Отрезок, соединяющий основание наклонной с основанием перпендикуляра, опущенного из той же точки на ту же плоскость, называется проекцией наклонной на плоскость.

Ответ:

5. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

Теорема о трех перпендикулярах формулируется следующим образом: Если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. Обратная теорема гласит: Если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной на эту плоскость. Пусть $A$ — точка вне плоскости $\alpha$, $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$ ($H \in \alpha$), $AM$ — наклонная к плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$), и $HM$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$. Если прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$ и $l \perp HM$, то $l \perp AM$. И наоборот, если $l \perp AM$, то $l \perp HM$.

Ответ: