Задания, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно докажите, что ортогональное проектирование переводит отрезки, не перпендикулярные плоскости проектирования, в отрезки.

Решение

Рассмотрим произвольный отрезок $AB$ с концами $A$ и $B$. Пусть $\Pi$ - плоскость проектирования. Обозначим ортогональные проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $\Pi$ как $A'$ и $B'$ соответственно. Мы должны доказать, что ортогональная проекция отрезка $AB$ на плоскость $\Pi$ есть отрезок $A'B'$.

Без потери общности, выберем систему координат такую, что плоскость $\Pi$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (т.е., $z=0$). В такой системе координат ортогональная проекция произвольной точки $P=(x,y,z)$ на плоскость $\Pi$ есть точка $P'=(x,y,0)$.

Пусть координаты концов отрезка $AB$ будут $A=(x_A, y_A, z_A)$ и $B=(x_B, y_B, z_B)$. Тогда их ортогональные проекции на плоскость $Oxy$ будут $A'=(x_A, y_A, 0)$ и $B'=(x_B, y_B, 0)$.

Любая точка $P$ на отрезке $AB$ может быть представлена в параметрической форме как $P = (1-t)A + tB$, где $t \in [0,1]$. В координатах это выражается как:

$P_x = (1-t)x_A + tx_B$

$P_y = (1-t)y_A + ty_B$

$P_z = (1-t)z_A + tz_B$

Ортогональная проекция $P'$ точки $P$ на плоскость $\Pi$ (плоскость $Oxy$) будет иметь координаты:

$P' = ((1-t)x_A + tx_B, (1-t)y_A + ty_B, 0)$

Это выражение можно переписать, используя координаты $A'$ и $B'$:

$P' = (1-t)(x_A, y_A, 0) + t(x_B, y_B, 0)$

$P' = (1-t)A' + tB'$

Поскольку параметр $t$ изменяется в интервале $[0,1]$ для точек на отрезке $AB$, то и для их проекций $P'$, которые выражаются через $A'$ и $B'$ с тем же параметром $t$, они будут принадлежать отрезку $A'B'$. Это доказывает, что ортогональная проекция любой точки отрезка $AB$ лежит на отрезке $A'B'$.

Теперь докажем обратное: любая точка $Q$ на отрезке $A'B'$ является проекцией некоторой точки с отрезка $AB$.

Пусть $Q$ - произвольная точка на отрезке $A'B'$. Тогда ее можно представить как $Q = (1-t)A' + tB'$ для некоторого $t \in [0,1]$. Рассмотрим точку $R = (1-t)A + tB$. Поскольку $t \in [0,1]$, точка $R$ лежит на отрезке $AB$. Проекция точки $R$ на плоскость $\Pi$ будет $R' = (1-t)A' + tB'$, что в точности равно $Q$. Таким образом, каждая точка отрезка $A'B'$ является проекцией некоторой точки отрезка $AB$.

Условие задачи гласит, что отрезок $AB$ "не перпендикулярен плоскости проектирования". Это означает, что прямая, содержащая отрезок $AB$, не перпендикулярна плоскости $\Pi$. Если бы отрезок $AB$ был перпендикулярен плоскости $\Pi$, то все его точки проецировались бы в одну и ту же точку на $\Pi$ (а именно, $A'$ и $B'$ совпали бы), и проекцией был бы не отрезок, а точка. Поскольку $AB$ не перпендикулярен $\Pi$, то $A'$ и $B'$ будут различными точками (если $A \neq B$), и следовательно, $A'B'$ будет являться отрезком.

Из вышеизложенного следует, что ортогональное проектирование устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками отрезка $AB$ и точками отрезка $A'B'$. Таким образом, ортогональное проектирование переводит отрезки, не перпендикулярные плоскости проектирования, в отрезки.

Ответ: Доказано.