Номер 14.14, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.14. Докажите, что для любых двух скрещивающихся прямых общий перпендикуляр единственен.

Дано: две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

Найти: доказать, что общий перпендикуляр к $a$ и $b$ единственен.

Решение:

Предположим противное, что существуют два различных общих перпендикуляра $L_1$ и $L_2$ к скрещивающимся прямым $a$ и $b$.

Пусть $L_1$ соединяет точки $A_1 \in a$ и $B_1 \in b$. Пусть $L_2$ соединяет точки $A_2 \in a$ и $B_2 \in b$.

По определению общего перпендикуляра, $L_1$ перпендикулярен прямой $a$ и прямой $b$ ($L_1 \perp a$, $L_1 \perp b$). Аналогично, $L_2$ перпендикулярен прямой $a$ и прямой $b$ ($L_2 \perp a$, $L_2 \perp b$).

Пусть $\vec{u}$ — направляющий вектор прямой $a$, а $\vec{v}$ — направляющий вектор прямой $b$. Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ не коллинеарны.

Направляющий вектор любого общего перпендикуляра должен быть ортогонален как $\vec{u}$, так и $\vec{v}$. Единственное (с точностью до знака) такое направление определяется вектором, параллельным векторному произведению $\vec{u} \times \vec{v}$.

Таким образом, прямые $L_1$ и $L_2$, являющиеся общими перпендикулярами, имеют направляющие векторы, параллельные $\vec{u} \times \vec{v}$. Следовательно, прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны друг другу.

Поскольку $L_1$ и $L_2$ — это две различные параллельные прямые (по нашему предположению), они однозначно определяют некоторую плоскость $\mathcal{P}$.

Точки $A_1$ и $A_2$ принадлежат прямой $a$. Также, $A_1$ лежит на $L_1$, а $L_1$ лежит в плоскости $\mathcal{P}$. $A_2$ лежит на $L_2$, а $L_2$ лежит в плоскости $\mathcal{P}$. Поскольку две точки прямой $a$ ($A_1$ и $A_2$) лежат в плоскости $\mathcal{P}$, то и вся прямая $a$ лежит в плоскости $\mathcal{P}$.

Аналогично, точки $B_1$ и $B_2$ принадлежат прямой $b$. $B_1$ лежит на $L_1$, а $L_1$ лежит в плоскости $\mathcal{P}$. $B_2$ лежит на $L_2$, а $L_2$ лежит в плоскости $\mathcal{P}$. Поскольку две точки прямой $b$ ($B_1$ и $B_2$) лежат в плоскости $\mathcal{P}$, то и вся прямая $b$ лежит в плоскости $\mathcal{P}$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\mathcal{P}$. Однако это противоречит исходному условию, что $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые, которые по определению не лежат в одной плоскости.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании двух различных общих перпендикуляров неверно.

Ответ: общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым единственен.