Номер 14.9, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.9. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.7) найдите расстояние между прямыми:

а) $AB_1$ и $BD_1$;

б) $AB_1$ и $DA_1$.

Рис. 14.7

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

а) расстояние между прямыми $AB_1$ и $BD_1$;
б) расстояние между прямыми $AB_1$ и $DA_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра, выходящие из этой вершины, лежали на осях координат. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

а) $AB_1$ и $BD_1$

Прямая $AB_1$ проходит через точку $A(0,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Прямая $BD_1$ проходит через точку $B(1,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1,1,1)$.

Вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой, например, $\vec{P_1P_2} = \vec{AB} = B - A = (1,0,0)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (1,0,1) \times (-1,1,1) = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = (-1, -2, 1)$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

Найдем скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ и вектора $\vec{n}$:

$(\vec{AB}) \cdot \vec{n} = (1,0,0) \cdot (-1,-2,1) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = -1$.

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $BD_1$:

$d_1 = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{6} $

б) $AB_1$ и $DA_1$

Прямая $AB_1$ проходит через точку $A(0,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = (1,0,1)$.

Прямая $DA_1$ проходит через точку $D(0,1,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 1-0) = (0,-1,1)$.

Вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой, например, $\vec{P_1P_2} = \vec{AD} = D - A = (0,1,0)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (1,0,1) \times (0,-1,1) = (0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1), 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = (1, -1, -1)$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Найдем скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ и вектора $\vec{n}$:

$(\vec{AD}) \cdot \vec{n} = (0,1,0) \cdot (1,-1,-1) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = -1$.

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $DA_1$:

$d_2 = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $