Номер 14.5, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.5. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.7) найдите расстояние между прямыми $AC_1$ и $BC$.

Рис. 14.7

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1 \text{ м}$ (единица измерения не указана, принимаем за метр).

Найти:

Расстояние между прямыми $AC_1$ и $BC$.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты необходимых вершин куба:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$C = (1,1,0)$

$C_1 = (1,1,1)$

Найдем векторы, задающие направления прямых $AC_1$ и $BC$, и опорные точки на этих прямых.

Прямая $AC_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $C_1(1,1,1)$.

Вектор направления прямой $AC_1$: $\vec{l_1} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$.

Опорная точка на прямой $AC_1$: $A_{точка} = A = (0,0,0)$.

Прямая $BC$ проходит через точки $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$.

Вектор направления прямой $BC$: $\vec{l_2} = \vec{BC} = C - B = (1-1, 1-0, 0-0) = (0,1,0)$.

Опорная точка на прямой $BC$: $B_{точка} = B = (1,0,0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными как $P_1 = A_{точка} + t\vec{l_1}$ и $P_2 = B_{точка} + s\vec{l_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{B_{точка}} - \vec{A_{точка}}) \cdot (\vec{l_1} \times \vec{l_2})|}{||\vec{l_1} \times \vec{l_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{l_1} \times \vec{l_2}$:

$\vec{l_1} \times \vec{l_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = -1\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1,0,1)$.

Вычислим модуль векторного произведения:

$||\vec{l_1} \times \vec{l_2}|| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Вычислим вектор $\vec{B_{точка}} - \vec{A_{точка}}$:

$\vec{B_{точка}} - \vec{A_{точка}} = B - A = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0)$.

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{B_{точка}} - \vec{A_{точка}}$ и векторного произведения $\vec{l_1} \times \vec{l_2}$):

$(\vec{B_{точка}} - \vec{A_{точка}}) \cdot (\vec{l_1} \times \vec{l_2}) = (1,0,0) \cdot (-1,0,1) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -1$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $AC_1$ и $BC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.