Номер 14.10, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.10. У тетраэдра $ABCD$ (рис. 14.11) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Рис. 14.11

Дано:

Тетраэдр $ABCD$. Все ребра равны $1$, т.е. $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Решение:

Так как все ребра тетраэдра равны $1$, то тетраэдр $ABCD$ является правильным тетраэдром с длиной ребра $a = 1$.

Прямые $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра. Расстояние между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра — это длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр в данном случае соединяет середины этих ребер.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $CD$. Тогда отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$, и его длина будет искомым расстоянием.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Медиана $CM$ также является высотой, поэтому $CM \perp AB$. Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $CM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в равностороннем треугольнике $ABD$, медиана $DM$ является высотой, поэтому $DM \perp AB$. Длина $DM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, треугольник $CDM$ является равнобедренным с $CM = DM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ и основанием $CD = a$.

В равнобедренном треугольнике $CDM$, медиана $MN$ (поскольку $N$ — середина $CD$) является также высотой к основанию $CD$. Следовательно, $MN \perp CD$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CMN$. Гипотенуза $CM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$, а катет $CN = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:

$MN^2 + CN^2 = CM^2$

$MN^2 = CM^2 - CN^2$

$MN^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$MN^2 = a^2 \frac{3}{4} - \frac{a^2}{4}$

$MN^2 = \frac{3a^2 - a^2}{4}$

$MN^2 = \frac{2a^2}{4}$

$MN^2 = \frac{a^2}{2}$

$MN = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение $a = 1$:

$MN = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.