Номер 14.3, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.3. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $A_1 B_1$;

б) $AB$ и $B_1 C_1$;

в) $AA_1$ и $CC_1$;

г) $AA_1$ и $DD_1$.

Рис. 14.9

Дано

правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ

Поскольку длина ребра задана как $1$ без указания единиц, будем использовать ее как условную единицу длины.

Длина ребра основания $a = 1$ (усл. ед.).

Высота призмы $h = 1$ (усл. ед.).

Найти

а) Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1B_1$.

б) Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

в) Расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$.

г) Расстояние между прямыми $AA_1$ и $DD_1$.

Решение

а) $AB$ и $A_1B_1$

Прямые $AB$ и $A_1B_1$ являются соответствующими ребрами нижнего и верхнего оснований призмы. Поскольку основания призмы лежат в параллельных плоскостях, прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, расстояние между $AB$ и $A_1B_1$ равно длине бокового ребра, то есть высоте призмы $h$. По условию, все ребра призмы равны $1$.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $A_1B_1$ равно $1$.

Ответ: $1$

б) $AB$ и $B_1C_1$

Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Плоскости оснований призмы параллельны. Прямые $AB$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между плоскостями оснований призмы равно ее высоте. По условию, высота призмы равна длине любого ее ребра, то есть $h = 1$.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равно $1$.

Ответ: $1$

в) $AA_1$ и $CC_1$

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ являются боковыми ребрами призмы. В правильной призме боковые ребра параллельны друг другу. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. Поскольку боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, то расстояние между $AA_1$ и $CC_1$ равно расстоянию между точками $A$ и $C$ в плоскости основания. Основание призмы - правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Рассмотрим треугольник $ABC$ в плоскости основания. Длины сторон $AB = BC = 1$. Угол $ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$. Используем теорему косинусов для нахождения длины отрезка $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 2 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Таким образом, расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

г) $AA_1$ и $DD_1$

Прямые $AA_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами призмы. В правильной призме боковые ребра параллельны друг другу. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. Поскольку боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, то расстояние между $AA_1$ и $DD_1$ равно расстоянию между точками $A$ и $D$ в плоскости основания. Основание призмы - правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Отрезок $AD$ является большой (главной) диагональю правильного шестиугольника, которая проходит через его центр. Длина такой диагонали равна удвоенной длине стороны шестиугольника.

$AD = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, расстояние между прямыми $AA_1$ и $DD_1$ равно $2$.

Ответ: $2$