Номер 13.12, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 13.9). Найдите расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $ED_1 F_1$.

Рис. 13.9

Дано
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.
Высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ: все данные представлены в безразмерных единицах. Если предположить, что единицы измерения длины - метры, то $a=1 \text{ м}$ и $h=1 \text{ м}$.

Найти:
Расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $ED_1F_1$.

Решение
Для решения задачи используем координатный метод. Разместим центр нижнего основания призмы $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль оси призмы. Вершины нижнего основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы со стороной $a=1$ в плоскости $Oxy$ будут иметь следующие координаты:

$A = (1, 0, 0)$
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Так как высота призмы $h=1$ (все ребра равны 1), координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут:

$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем уравнение плоскости $ACB_1$. Для этого нам нужны три точки, лежащие в плоскости: $A(1,0,0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Составим два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{n_1} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n_1} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-3/2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-3/2 \cdot \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 \cdot (-1/2))$
$\vec{n_1} = (\sqrt{3}/2, 3/2, -\sqrt{3}/2)$

Для удобства вычислений, можем использовать пропорциональный вектор нормали, умножив все компоненты на 2: $\vec{n_1}' = (\sqrt{3}, 3, -\sqrt{3})$. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя $\vec{n_1}'$, получим: $\sqrt{3}x + 3y - \sqrt{3}z + D_1 = 0$. Подставим координаты точки $A(1,0,0)$ в уравнение для нахождения $D_1$: $\sqrt{3}(1) + 3(0) - \sqrt{3}(0) + D_1 = 0 \implies \sqrt{3} + D_1 = 0 \implies D_1 = -\sqrt{3}$. Уравнение плоскости $ACB_1$: $\sqrt{3}x + 3y - \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$. Разделим все коэффициенты на $\sqrt{3}$ для получения более простого вида: $x + \sqrt{3}y - z - 1 = 0$.

Далее найдем уравнение плоскости $ED_1F_1$. Используем точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $D_1(-1, 0, 1)$ и $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Составим два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{ED_1} = D_1 - E = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$\vec{EF_1} = F_1 - E = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (1, 0, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $ED_1F_1$:

$\vec{n_2} = \vec{ED_1} \times \vec{EF_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n_2} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(-1/2 \cdot 0 - \sqrt{3}/2 \cdot 1)$
$\vec{n_2} = (\sqrt{3}/2, 3/2, -\sqrt{3}/2)$

Заметим, что векторы нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ равны, что подтверждает параллельность плоскостей $ACB_1$ и $ED_1F_1$. Используем тот же упрощенный нормальный вектор $(1, \sqrt{3}, -1)$ (полученный делением $\vec{n_2}$ на $\sqrt{3}/2$) для плоскости $ED_1F_1$. Уравнение плоскости $ED_1F_1$: $x + \sqrt{3}y - z + D_2 = 0$. Подставим координаты точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ в уравнение для нахождения $D_2$: $(-1/2) + \sqrt{3}(-\sqrt{3}/2) - (0) + D_2 = 0$
$-1/2 - 3/2 + D_2 = 0$
$-2 + D_2 = 0 \implies D_2 = 2$. Уравнение плоскости $ED_1F_1$: $x + \sqrt{3}y - z + 2 = 0$.

Теперь, когда у нас есть уравнения двух параллельных плоскостей $x + \sqrt{3}y - z - 1 = 0$ и $x + \sqrt{3}y - z + 2 = 0$, мы можем найти расстояние между ними по формуле: $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Здесь $A=1$, $B=\sqrt{3}$, $C=-1$. Для первой плоскости $D_1 = -1$, для второй $D_2 = 2$.

$d = \frac{|-1 - 2|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|-3|}{\sqrt{1 + 3 + 1}}$
$d = \frac{3}{\sqrt{5}}$
Для удаления иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ:
Расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $ED_1F_1$ равно $\frac{3\sqrt{5}}{5}$.