Номер 13.7, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.7. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ (рис. 13.11), все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $SAD$.

Рис. 13.11

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная. Все ребра равны 1. $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$ (условные единицы длины).

Перевод всех данных в систему СИ:

Поскольку в задаче не указаны единицы измерения, принимаем условные единицы длины (например, метры). $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$ м.

Найти:

Расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $SAD$.

Решение:

1. Поскольку пирамида $SABCD$ правильная четырехугольная, ее основание $ABCD$ является квадратом. Все ребра равны 1, значит, $AB = BC = CD = DA = 1$.

2. Прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ (стороны квадрата).

3. Прямая $AD$ лежит в плоскости $SAD$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что прямая $BC$ параллельна плоскости $SAD$.

5. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на этой прямой до плоскости. Выберем точку $N$ - середину отрезка $BC$. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки $N$ до плоскости $SAD$.

6. Пусть $M$ - середина отрезка $AD$.

7. В основании $ABCD$ отрезок $MN$ соединяет середины параллельных сторон квадрата, поэтому $MN \perp AD$ и $MN = AB = 1$.

8. Треугольник $SAD$ является равносторонним, так как $SA = SD = AD = 1$.

9. В равностороннем треугольнике $SAD$ медиана $SM$ является также высотой, поэтому $SM \perp AD$. Длина $SM$ (высота равностороннего треугольника со стороной 1) равна $SM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. Поскольку $MN \perp AD$ и $SM \perp AD$, то прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $SMN$. Следовательно, плоскость $SAD$ перпендикулярна плоскости $SMN$.

11. Искомое расстояние от точки $N$ до плоскости $SAD$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на линию пересечения плоскостей $SAD$ и $SMN$. Линия пересечения - это $SM$.

12. Рассмотрим треугольник $SMN$. Его стороны: $MN = 1$. $SM = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $SN$ является высотой равностороннего треугольника $SBC$ (так как все его стороны равны 1), опущенной из $S$ на $BC$, где $N$ - середина $BC$. Поэтому $SN = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $\triangle SMN$ - равнобедренный с $SM = SN = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и основанием $MN=1$.

13. Пусть $O$ - центр основания пирамиды. $O$ является серединой отрезка $MN$.

14. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания. В $\triangle SOM$ (прямоугольном) имеем $OM = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2}$. По теореме Пифагора: $SO^2 + OM^2 = SM^2$ $SO^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ $SO^2 + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ $SO^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $SO = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

15. Площадь треугольника $SMN$ может быть найдена как $S_{SMN} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot SO$: $S_{SMN} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

16. Искомое расстояние $h_N$ от точки $N$ до прямой $SM$ является высотой $\triangle SMN$, опущенной из вершины $N$ на сторону $SM$. Эту же площадь можно выразить как $S_{SMN} = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot h_N$. Приравниваем выражения для площади: $\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h_N$ $\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} h_N$ $h_N = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ $h_N = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $SAD$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.