Номер 13.2, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.2. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ все ребра равны 1 (рис. 13.8). Найдите расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Рис. 13.8

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти

Расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной треугольной призмой, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ представляют собой равносторонние треугольники, а боковые грани – прямоугольники. Все ребра призмы равны 1 по условию.

Прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$ (как боковые ребра призмы). Так как прямая $BB_1$ полностью лежит в плоскости $BCC_1$, это означает, что прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BCC_1$.

Расстояние между параллельной прямой и плоскостью определяется как расстояние от любой точки этой прямой до плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AA_1$. Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Рассмотрим основание призмы – равносторонний треугольник $ABC$. Длина его стороны $a = AB = BC = CA = 1$.

Проведем высоту $AH$ в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому точка $H$ – это середина отрезка $BC$.

По определению высоты, $AH \perp BC$.

Длина высоты $AH$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя значение $a=1$, получаем: $AH = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь докажем, что отрезок $AH$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $BCC_1$.

Поскольку $AA_1$ – боковое ребро правильной призмы, оно перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $AA_1 \perp BC$.

Мы установили, что $AH \perp BC$ и $AA_1 \perp BC$. Так как прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AH$ и $AA_1$, лежащим в плоскости $AA_1H$, то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $AA_1H$.

Плоскость $BCC_1$ содержит прямую $BC$. Если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти две плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $BCC_1$ перпендикулярна плоскости $AA_1H$.

Линия пересечения плоскостей $AA_1H$ и $BCC_1$ – это прямая $BC$. Отрезок $AH$ лежит в плоскости $AA_1H$ и перпендикулярен линии $BC$. По теореме о трех перпендикулярах (или по определению перпендикулярности плоскостей), если плоскости перпендикулярны, и прямая в одной плоскости перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.

Таким образом, $AH$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $BCC_1$.

Следовательно, расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BCC_1$ равно длине отрезка $AH$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$