Номер 13.8, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.8. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ (рис. 13.12), стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямой $CD$ и плоскостью $SAF$.

Рис. 13.12

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в безразмерных единицах, соответствующих системе СИ (например, метры, если речь идет о физических размерах).

Найти:

Расстояние между прямой $CD$ и плоскостью $SAF$.

Решение:

1. Определим взаимное расположение прямой $CD$ и плоскости $SAF$. В правильном шестиугольнике сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Поскольку прямая $AF$ лежит в плоскости $SAF$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $SAF$.

2. Расстояние между параллельной прямой и плоскостью равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости. Возьмем середину стороны $CD$, обозначим ее $N$. Необходимо найти расстояние от точки $N$ до плоскости $SAF$.

3. Пусть $O$ — центр основания пирамиды. $S$ — вершина пирамиды. В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания.

4. Найдем высоту пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ (где $A$ — вершина основания), $OA$ — радиус описанной окружности для правильного шестиугольника, который равен стороне основания $a$. То есть, $OA = a = 1$.

По теореме Пифагора:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

$SO^2 = l^2 - a^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

5. Найдем расстояние от центра основания $O$ до середины стороны $AF$ (апофема основания). Пусть $M$ — середина $AF$. Для правильного шестиугольника апофема $OM$ вычисляется по формуле:

$OM = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку $N$ — середина $CD$, то $ON = OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точки $M, O, N$ лежат на одной прямой, перпендикулярной $AF$ и $CD$. Длина отрезка $MN = OM + ON = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

6. Рассмотрим плоскость $SOMN$ (или просто $SMN$, поскольку $O$ лежит на $MN$). Эта плоскость проходит через высоту пирамиды $SO$ и перпендикулярна стороне $AF$ (так как $OM \perp AF$ и $SO \perp \text{плоскости основания}$).

7. Поскольку плоскость $SOMN$ содержит прямую $SO$, перпендикулярную плоскости основания, и прямую $OM$, перпендикулярную $AF$, то плоскость $SOMN$ перпендикулярна прямой $AF$. Так как прямая $AF$ лежит в плоскости $SAF$, то плоскость $SOMN$ перпендикулярна плоскости $SAF$.

8. Линия пересечения плоскостей $SOMN$ и $SAF$ — это прямая $SM$.

9. Поскольку точка $N$ лежит в плоскости $SOMN$, а плоскость $SOMN$ перпендикулярна плоскости $SAF$, то расстояние от точки $N$ до плоскости $SAF$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на прямую $SM$ (линию пересечения плоскостей) в плоскости $SOMN$.

10. Рассмотрим треугольник $SMN$. Это равнобедренный треугольник, так как $SM = SN$ (поскольку $OM = ON$ и $SO$ — общая высота). Найдем $SM$ (высота боковой грани $SAF$):

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12+3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Также $SN = \frac{\sqrt{15}}{2}$. Основание $MN = \sqrt{3}$.

11. Площадь треугольника $SMN$ можно найти двумя способами. Первый способ, используя $MN$ как основание и $SO$ как высоту (так как $SO \perp MN$):

$S_{\triangle SMN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2}$

12. Второй способ, используя $SM$ как основание и искомую высоту $h$ (расстояние от $N$ до $SM$):

$S_{\triangle SMN} = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{15}}{4} h$

13. Приравниваем площади:

$\frac{3}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4} h$

$h = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$

Рационализируем знаменатель:

$h = \frac{6\sqrt{15}}{15} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

Ответ:

Расстояние между прямой $CD$ и плоскостью $SAF$ равно $\frac{2\sqrt{15}}{5}$.