Номер 13.6, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями:

a) $ABB_1$ и $DEE_1$;

б) $ABB_1$ и $CFF_1$;

в) $ACC_1$ и $FDD_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:
а) Расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DEE_1$.
б) Расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $CFF_1$.
в) Расстояние между плоскостями $ACC_1$ и $FDD_1$.

Решение
Поскольку призма правильная, ее боковые грани перпендикулярны основаниям. Все боковые ребра параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel \dots$) и перпендикулярны плоскостям оснований. Расстояние между двумя такими плоскостями, проходящими через боковые ребра, равно расстоянию между соответствующими прямыми, являющимися следами этих плоскостей в плоскости основания. Для вычисления расстояний воспользуемся координатным методом. Поместим центр нижнего основания призмы (шестиугольника $ABCDEF$) в начало координат $(0,0,0)$. Высота призмы $h=1$. Длина стороны шестиугольника $a=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника в основании (на плоскости $z=0$) с центром в начале координат и стороной $a=1$:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

а) ABB_1 и DEE_1

Плоскость $ABB_1$ проходит через прямую $AB$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $AB$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $A(1, 0)$ и $B(1/2, \sqrt{3}/2)$.
Наклон $m_{AB} = \frac{\sqrt{3}/2 - 0}{1/2 - 1} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$.
Уравнение прямой: $y - 0 = -\sqrt{3}(x - 1) \implies y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3} \implies \sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $ABB_1$ есть $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$.

Плоскость $DEE_1$ проходит через прямую $DE$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $DE$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $D(-1, 0)$ и $E(-1/2, -\sqrt{3}/2)$.
Наклон $m_{DE} = \frac{-\sqrt{3}/2 - 0}{-1/2 - (-1)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$.
Уравнение прямой: $y - 0 = -\sqrt{3}(x - (-1)) \implies y = -\sqrt{3}x - \sqrt{3} \implies \sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $DEE_1$ есть $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$.

Плоскости $ABB_1$ и $DEE_1$ параллельны, так как их нормальные векторы $(\sqrt{3}, 1, 0)$ коллинеарны.
Расстояние между параллельными плоскостями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.
$d = \frac{|-\sqrt{3} - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2+0^2}} = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Альтернативно, эти плоскости содержат противолежащие боковые грани. Расстояние между ними равно расстоянию между противолежащими сторонами правильного шестиугольника в основании, которое равно удвоенной апофеме $2 \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. При $a=1$, расстояние равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) ABB_1 и CFF_1

Плоскость $ABB_1$ имеет уравнение $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$, полученное в пункте а).

Плоскость $CFF_1$ проходит через прямую $CF$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $CF$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2)$ и $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$.
Наклон $m_{CF} = \frac{-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2}{1/2 - (-1/2)} = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$.
Уравнение прямой: $y - \sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}(x - (-1/2)) \implies y - \sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}x - \sqrt{3}/2 \implies \sqrt{3}x + y = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $CFF_1$ есть $\sqrt{3}x + y = 0$.

Плоскости $ABB_1$ и $CFF_1$ параллельны, так как их нормальные векторы $(\sqrt{3}, 1, 0)$ коллинеарны.
Расстояние между ними:
$d = \frac{|-\sqrt{3} - 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2+0^2}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) ACC_1 и FDD_1

Плоскость $ACC_1$ проходит через прямую $AC$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $AC$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $A(1, 0)$ и $C(-1/2, \sqrt{3}/2)$.
Наклон $m_{AC} = \frac{\sqrt{3}/2 - 0}{-1/2 - 1} = \frac{\sqrt{3}/2}{-3/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Уравнение прямой: $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1) \implies \sqrt{3}y = -x + 1 \implies x + \sqrt{3}y - 1 = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $ACC_1$ есть $x + \sqrt{3}y - 1 = 0$.

Плоскость $FDD_1$ проходит через прямую $FD$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $FD$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$ и $D(-1, 0)$.
Наклон $m_{FD} = \frac{0 - (-\sqrt{3}/2)}{-1 - 1/2} = \frac{\sqrt{3}/2}{-3/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Уравнение прямой: $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - (-1)) \implies \sqrt{3}y = -x - 1 \implies x + \sqrt{3}y + 1 = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $FDD_1$ есть $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$.

Плоскости $ACC_1$ и $FDD_1$ параллельны, так как их нормальные векторы $(1, \sqrt{3}, 0)$ коллинеарны.
Расстояние между ними:
$d = \frac{|-1 - 1|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+0^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1+3}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $1$