Номер 13.3, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 13.9). Найдите расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью:

а) $BCC_1$;

б) $CDD_1$;

в) $DEE_1$;

г) $BDD_1$;

д) $BEE_1$;

е) $BFF_1$;

ж) $CEE_1$;

з) $CFF_1$.

Рис. 13.9

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длины всех ребер равны $1$.

$a = 1$ (единица длины) - длина стороны основания шестиугольника.
$h = 1$ (единица длины) - высота призмы.

Расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостями:
а) $BCC_1$
б) $CDD_1$
в) $DEE_1$
г) $BDD_1$
д) $BEE_1$
е) $BFF_1$
ж) $CEE_1$
з) $CFF_1$

Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной шестиугольной призмы. Все боковые грани призмы параллельны прямой $AA_1$ (за исключением граней $AA_1B_1B$ и $AA_1F_1F$, которые содержат $AA_1$). Диагональные сечения призмы также могут быть параллельны или пересекать $AA_1$. Во всех случаях, указанных в задаче, плоскости $BCC_1$, $CDD_1$, $DEE_1$, $BDD_1$, $BEE_1$, $BFF_1$, $CEE_1$, $CFF_1$ параллельны прямой $AA_1$.

Поскольку прямая $AA_1$ параллельна каждой из заданных плоскостей, расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой $AA_1$ до этой плоскости. Выберем точку $A$ (вершину нижнего основания). Так как призма является прямой, плоскость нижнего основания $ABCDEF$ перпендикулярна прямой $AA_1$. Следовательно, расстояние от точки $A$ до любой из заданных плоскостей равно расстоянию от точки $A$ до линии пересечения этой плоскости с плоскостью нижнего основания $ABCDEF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Установим систему координат в плоскости основания $ABCDEF$, поместив центр шестиугольника в начало координат $(0,0)$ и вершину $A$ на положительную ось $x$.
Координаты вершин:
$A = (1, 0)$
$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ)) = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ)) = (-1, 0)$
$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ)) = (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ)) = (0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

а) $BCC_1$
Эта плоскость является боковой гранью $BCC_1B_1$. Расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BCC_1B_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$.
Прямая $BC$ проходит через точки $B(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $C(-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Это горизонтальная линия с уравнением $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $CDD_1$
Эта плоскость является боковой гранью $CDD_1C_1$. Расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $CDD_1C_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CD$.
Прямая $CD$ проходит через точки $C(-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $D(-1,0)$.
Угловой коэффициент прямой $CD$: $k = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-0.5 - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.5} = \sqrt{3}$.
Уравнение прямой $CD$: $y - 0 = \sqrt{3}(x - (-1)) \implies y = \sqrt{3}(x+1) \implies \sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$.
Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$:
$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 1(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $d = \sqrt{3}$

в) $DEE_1$
Эта плоскость является боковой гранью $DEE_1D_1$. Расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $DEE_1D_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $DE$.
Прямая $DE$ проходит через точки $D(-1,0)$ и $E(-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Угловой коэффициент прямой $DE$: $k = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-0.5 - (-1)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.5} = -\sqrt{3}$.
Уравнение прямой $DE$: $y - 0 = -\sqrt{3}(x - (-1)) \implies y = -\sqrt{3}(x+1) \implies \sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$.
Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$:
$d = \frac{|\sqrt{3}(1) + 1(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $d = \sqrt{3}$

г) $BDD_1$
Эта плоскость является диагональным сечением $BDD_1B_1$. Расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BDD_1B_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BD$.
Прямая $BD$ проходит через точки $B(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $D(-1,0)$.
Угловой коэффициент прямой $BD$: $k = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{0.5 - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1.5} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Уравнение прямой $BD$: $y - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1)) \implies y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x+1) \implies \sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3} = 0$.
Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3} = 0$:
$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 3(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+9}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$.
Геометрически, в правильном шестиугольнике со стороной $1$, диагональ $BD$ имеет длину $\sqrt{3}$. Треугольник $ABD$ имеет стороны $AB=1$, $AD=2$ (большая диагональ), $BD=\sqrt{3}$. Поскольку $AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4 = 2^2 = AD^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Следовательно, отрезок $AB$ перпендикулярен прямой $BD$, и расстояние от $A$ до прямой $BD$ равно длине $AB$, то есть $1$.

Ответ: $d = 1$

д) $BEE_1$
Эта плоскость является диагональным сечением $BEE_1B_1$. Расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BEE_1B_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BE$.
Прямая $BE$ проходит через точки $B(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $E(-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Угловой коэффициент прямой $BE$: $k = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{0.5 - (-0.5)} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
Уравнение прямой $BE$: $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}(x - 0.5) \implies y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \sqrt{3}x - y = 0$.
Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - y = 0$:
$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 1(0)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Геометрически, $BE$ является большой диагональю шестиугольника, её длина $2$. Она проходит через центр шестиугольника. Треугольник $ABE$ имеет стороны $AB=1$, $AE=\sqrt{3}$, $BE=2$. Поскольку $AB^2 + AE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4 = 2^2 = BE^2$, треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Расстояние от $A$ до прямой $BE$ является высотой, опущенной из $A$ на гипотенузу $BE$. Площадь $\triangle ABE = \frac{1}{2} AB \cdot AE = \frac{1}{2} (1)(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Также, площадь $\triangle ABE = \frac{1}{2} BE \cdot h_A = \frac{1}{2}(2)h_A = h_A$. Следовательно, $h_A = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

е) $BFF_1$
Эта плоскость является диагональным сечением $BFF_1B_1$. Расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BFF_1B_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BF$.
Прямая $BF$ проходит через точки $B(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $F(0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это вертикальная линия с уравнением $x = 0.5$.
Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $x = 0.5$ равно:
$d = |1 - 0.5| = 0.5$.

Ответ: $d = 0.5$

ж) $CEE_1$
Эта плоскость является диагональным сечением $CEE_1C_1$. Расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $CEE_1C_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CE$.
Прямая $CE$ проходит через точки $C(-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $E(-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это вертикальная линия с уравнением $x = -0.5$.
Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $x = -0.5$ равно:
$d = |1 - (-0.5)| = |1 + 0.5| = 1.5$.

Ответ: $d = 1.5$

з) $CFF_1$
Эта плоскость является диагональным сечением $CFF_1C_1$. Расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $CFF_1C_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CF$.
Прямая $CF$ проходит через точки $C(-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $F(0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Угловой коэффициент прямой $CF$: $k = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{-0.5 - 0.5} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$.
Уравнение прямой $CF$: $y - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}(x - 0.5) \implies y + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \sqrt{3}x + y = 0$.
Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x + y = 0$:
$d = \frac{|\sqrt{3}(1) + 1(0)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Геометрически, $CF$ является большой диагональю шестиугольника, её длина $2$. Она проходит через центр шестиугольника. Треугольник $ACF$ имеет стороны $AC=\sqrt{3}$, $AF=1$, $CF=2$. Поскольку $AF^2 + AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4 = 2^2 = CF^2$, треугольник $ACF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Расстояние от $A$ до прямой $CF$ является высотой, опущенной из $A$ на гипотенузу $CF$. Площадь $\triangle ACF = \frac{1}{2} AF \cdot AC = \frac{1}{2} (1)(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Также, площадь $\triangle ACF = \frac{1}{2} CF \cdot h_A = \frac{1}{2}(2)h_A = h_A$. Следовательно, $h_A = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$