Задания, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите самостоятельно, что расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точки на данной плоскости (рис. 13.5).

Рис. 13.5

Дано:

Две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, то есть $\alpha \parallel \beta$.

Найти:

Доказать, что расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ не зависит от выбора точки на одной из этих плоскостей.

Решение:

Расстояние между двумя параллельными плоскостями определяется как длина перпендикулярного отрезка, проведенного из любой точки одной плоскости к другой плоскости. Для того чтобы доказать, что это расстояние не зависит от выбора точки, покажем, что длины двух таких перпендикуляров, проведенных из разных точек одной плоскости, равны.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Возьмем две произвольные точки $A_1$ и $A_2$ на плоскости $\alpha$. Опустим из точки $A_1$ перпендикуляр $A_1B_1$ к плоскости $\beta$, где $B_1$ - точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью $\beta$. Длина отрезка $A_1B_1$ является расстоянием от точки $A_1$ до плоскости $\beta$. Аналогично, опустим из точки $A_2$ перпендикуляр $A_2B_2$ к плоскости $\beta$, где $B_2$ - точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью $\beta$. Длина отрезка $A_2B_2$ является расстоянием от точки $A_2$ до плоскости $\beta$.

По определению, отрезки $A_1B_1$ и $A_2B_2$ перпендикулярны плоскости $\beta$. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны друг другу. Следовательно, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2A_2$. Стороны $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны, как было показано выше. Отрезки $A_1A_2$ и $B_1B_2$ лежат в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а прямая $A_1B_1$ перпендикулярна плоскости $\beta$, то она также перпендикулярна плоскости $\alpha$ (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой). Таким образом, прямая $A_1B_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через $A_1$. Аналогично, прямая $A_2B_2$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через $A_2$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по параллельным прямым. То есть, $A_1A_2 \parallel B_1B_2$.

Итак, в четырехугольнике $A_1B_1B_2A_2$ противоположные стороны попарно параллельны ($A_1B_1 \parallel A_2B_2$ и $A_1A_2 \parallel B_1B_2$). Следовательно, этот четырехугольник является параллелограммом.

Более того, поскольку $A_1B_1$ перпендикулярна плоскости $\beta$, то $A_1B_1 \perp B_1B_2$. Это означает, что угол $\angle A_1B_1B_2 = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Следовательно, $A_1B_1 = A_2B_2$.

Это доказывает, что длины перпендикуляров, опущенных из произвольных точек $A_1$ и $A_2$ плоскости $\alpha$ на плоскость $\beta$, равны. Таким образом, расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точки на одной из плоскостей.

Ответ: Доказано.