Номер 14.12, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.12. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SA$ и:

а) $BC$;

б) $CD$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Все данные являются безразмерными величинами (или в условных единицах длины), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

а) Расстояние между прямыми $SA$ и $BC$.

б) Расстояние между прямыми $SA$ и $CD$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр основания пирамиды, точку $O$, в начале координат $(0, 0, 0)$. Ось $z$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$. Вершину $A$ основания разместим на оси $x$.

Найдем координаты вершин пирамиды:

Так как основание является правильным шестиугольником, расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны основания. Значит, $OA = a = 1$.

Высота пирамиды $SO = h$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ (где $O$ - основание высоты, $S$ - вершина пирамиды, $A$ - вершина основания) по теореме Пифагора:

$h^2 = SA^2 - OA^2 = l^2 - a^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.

Следовательно, $h = \sqrt{3}$.

Координаты вершины $S$: $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Координаты вершин основания (при $a=1$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Прямая $SA$ проходит через точки $S(0, 0, \sqrt{3})$ и $A(1, 0, 0)$.

Направляющий вектор прямой $SA$: $\vec{v}_{SA} = A - S = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ с направляющими векторами $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и точками $P_1 \in L_1$, $P_2 \in L_2$ используется формула:

$d = \frac{|(\vec{P_1} - \vec{P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

a) Расстояние между прямыми SA и BC

Прямая $SA$: возьмем точку $P_1 = A = (1, 0, 0)$, направляющий вектор $\vec{v}_{SA} = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Прямая $BC$ проходит через $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Возьмем точку $P_2 = C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Направляющий вектор прямой $BC$: $\vec{v}_{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v}_{SA} \times \vec{v}_{BC} = (1, 0, -\sqrt{3}) \times (-1, 0, 0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -\sqrt{3} \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) = (0, \sqrt{3}, 0)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{v}_{SA} \times \vec{v}_{BC}|| = ||(0, \sqrt{3}, 0)|| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1P_2} = A - C = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим смешанное произведение:

$(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v}_{SA} \times \vec{v}_{BC}) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0) \cdot (0, \sqrt{3}, 0) = (3/2) \cdot 0 + (-\sqrt{3}/2) \cdot \sqrt{3} + 0 \cdot 0 = 0 - 3/2 + 0 = -3/2$.

Расстояние $d_{SA,BC} = \frac{|-3/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Расстояние между прямыми SA и CD

Прямая $SA$: точка $P_1 = A = (1, 0, 0)$, направляющий вектор $\vec{v}_{SA} = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Прямая $CD$ проходит через $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $D(-1, 0, 0)$.

Возьмем точку $P_2 = C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Направляющий вектор прямой $CD$: $\vec{v}_{CD} = D - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v}_{SA} \times \vec{v}_{CD} = (1, 0, -\sqrt{3}) \times (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$

$= \mathbf{i}(-3/2) - \mathbf{j}(-\sqrt{3}/2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/2) = (-3/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{v}_{SA} \times \vec{v}_{CD}|| = ||(-3/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)|| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2}$

$= \sqrt{9/4 + 3/4 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1P_2} = A - C = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим смешанное произведение:

$(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v}_{SA} \times \vec{v}_{CD}) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0) \cdot (-3/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$

$= (3/2) \cdot (-3/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + 0 \cdot (-\sqrt{3}/2) = -9/4 - 3/4 + 0 = -12/4 = -3$.

Расстояние $d_{SA,CD} = \frac{|-3|}{\sqrt{15}/2} = \frac{3}{\sqrt{15}/2} = \frac{6}{\sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15}}{15} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{15}}{5}$