Номер 14.13, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.13.Докажите, что для любых двух скрещивающихся прямых общий перпендикуляр существует.

Докажите, что для любых двух скрещивающихся прямых общий перпендикуляр существует.

Решение:

Рассмотрим две скрещивающиеся прямые $l$ и $m$. Нам необходимо доказать существование общего перпендикуляра к этим прямым.

1.Построение плоскости, содержащей одну прямую и параллельной другой.
Возьмем произвольную точку $A$ на прямой $l$. Через точку $A$ проведем прямую $m'$, параллельную прямой $m$. Прямые $l$ и $m'$ пересекаются в точке $A$, следовательно, они определяют единственную плоскость $\Pi$. Поскольку $m' \parallel m$, то прямая $m$ параллельна плоскости $\Pi$ (так как она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости).

2.Ортогональное проецирование второй прямой на построенную плоскость.
Осуществим ортогональное проецирование прямой $m$ на плоскость $\Pi$. Пусть $m_0$ — ортогональная проекция прямой $m$ на плоскость $\Pi$. Поскольку прямая $m$ параллельна плоскости $\Pi$, ее ортогональная проекция $m_0$ будет прямой, параллельной $m$. Следовательно, $m_0 \parallel m$.

3.Нахождение точки пересечения.
Прямые $l$ и $m$ являются скрещивающимися, что означает, что они не параллельны. Поскольку $m_0 \parallel m$, то прямая $l$ не параллельна прямой $m_0$. Обе прямые $l$ и $m_0$ лежат в одной плоскости $\Pi$. Так как они не параллельны, они должны пересекаться в некоторой единственной точке $P$.

4.Построение перпендикуляра к плоскости.
Точка $P$ лежит на прямой $m_0$, которая является ортогональной проекцией прямой $m$. Это означает, что существует единственная точка $Q$ на прямой $m$ такая, что отрезок $PQ$ является перпендикуляром к плоскости $\Pi$ (т.е. $PQ \perp \Pi$). Точка $P$ является ортогональной проекцией точки $Q$ на плоскость $\Pi$.

5.Доказательство перпендикулярности к первой прямой.
Поскольку $PQ \perp \Pi$ и прямая $l$ лежит в плоскости $\Pi$ ($l \subset \Pi$), то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, $PQ \perp l$.

6.Доказательство перпендикулярности ко второй прямой.
Мы знаем, что $PQ \perp \Pi$, и прямая $m_0$ лежит в плоскости $\Pi$ ($m_0 \subset \Pi$), поэтому $PQ \perp m_0$. Также из пункта 2 мы установили, что $m_0 \parallel m$. Если прямая ($PQ$) перпендикулярна одной из двух параллельных прямых ($m_0$), то она перпендикулярна и другой ($m$). Следовательно, $PQ \perp m$.

7.Заключение.
Из пунктов 5 и 6 следует, что отрезок $PQ$ является перпендикулярным как к прямой $l$, так и к прямой $m$. При этом точка $P$ лежит на прямой $l$ (из пункта 3), а точка $Q$ лежит на прямой $m$ (из пункта 4). Таким образом, отрезок $PQ$ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым $l$ и $m$.

Эта конструкция доказывает существование общего перпендикуляра для любых двух скрещивающихся прямых.

Ответ: Общий перпендикуляр существует.