Номер 15.7, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Другого отрезка.

15.7. Точки $A, B, C$ расположены на одной прямой, $A', B', C'$ — их соответствующие ортогональные проекции, $AB = 5, BC = 10, A'C' = 12$. Найдите $A'B'$ и $B'C'$.

Дано:

$AB = 5$

$BC = 10$

$A'C' = 12$

Перевод в СИ:

Длины заданы в безразмерных или относительных единицах, поэтому их перевод в систему СИ не требуется. Результаты также будут получены в тех же относительных единицах.

Найти:

$A'B'$

$B'C'$

Решение:

Пусть $\alpha$ — это угол между прямой, на которой расположены точки $A, B, C$, и прямой (или плоскостью), на которую производится ортогональное проектирование. Длина ортогональной проекции отрезка равна произведению длины самого отрезка на абсолютное значение косинуса угла между прямой, содержащей отрезок, и прямой (или плоскостью) проекции. То есть, если $L$ — длина отрезка, а $L'$ — длина его проекции, то $L' = L \cdot |\cos \alpha|$.

Поскольку точки $A, B, C$ расположены на одной прямой, и, судя по данным $AB=5$ и $BC=10$, точка $B$ находится между точками $A$ и $C$ (таким образом $AC = AB + BC = 5 + 10 = 15$). Соответственно, их ортогональные проекции $A', B', C'$ также будут расположены на одной прямой, и точка $B'$ будет находиться между $A'$ и $C'$.

Исходя из этого, мы можем записать следующие соотношения для длин проекций:

$A'B' = AB \cdot |\cos \alpha| = 5 \cdot |\cos \alpha|$

$B'C' = BC \cdot |\cos \alpha| = 10 \cdot |\cos \alpha|$

Так как $B'$ находится между $A'$ и $C'$, выполняется следующее равенство:

$A'C' = A'B' + B'C'$

Теперь подставим выражения для $A'B'$ и $B'C'$ в это равенство:

$A'C' = (5 \cdot |\cos \alpha|) + (10 \cdot |\cos \alpha|)$

Объединим слагаемые:

$A'C' = (5 + 10) \cdot |\cos \alpha|$

$A'C' = 15 \cdot |\cos \alpha|$

Из условия задачи нам дано, что $A'C' = 12$. Подставим это значение в уравнение:

$12 = 15 \cdot |\cos \alpha|$

Вычислим значение $|\cos \alpha|$:

$|\cos \alpha| = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$

Теперь, используя найденное значение $|\cos \alpha|$, мы можем вычислить длины отрезков $A'B'$ и $B'C'$:

$A'B' = 5 \cdot |\cos \alpha| = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4$

$B'C' = 10 \cdot |\cos \alpha| = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8$

Для проверки правильности решения, сложим полученные длины проекций: $A'B' + B'C' = 4 + 8 = 12$. Это соответствует заданному значению $A'C'$, что подтверждает верность расчетов.

Ответ:

$A'B' = 4$, $B'C' = 8$.