Номер 15.11, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.11. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 15.7) перпендикулярны прямые: а) $AB_1$ и $BD_1$; б) $AC_1$ и $BD$; в) $AD_1$ и $CA_1$.

Рис. 15.7

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин будут:

$A = (0, 0, 0)$

$B = (a, 0, 0)$

$C = (a, a, 0)$

$D = (0, a, 0)$

$A_1 = (0, 0, a)$

$B_1 = (a, 0, a)$

$C_1 = (a, a, a)$

$D_1 = (0, a, a)$

Найти: Доказать, что следующие пары прямых перпендикулярны.

Решение:

Для доказательства перпендикулярности прямых мы можем использовать метод векторов. Если скалярное произведение направляющих векторов двух прямых равно нулю, то эти прямые перпендикулярны.

a) $AB_1$ и $BD_1$

Найдем координаты направляющих векторов для каждой прямой:

Вектор $\vec{AB_1}$: Координаты точки $B_1$ минус координаты точки $A$.

$\vec{AB_1} = (a - 0, 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)$

Вектор $\vec{BD_1}$: Координаты точки $D_1$ минус координаты точки $B$.

$\vec{BD_1} = (0 - a, a - 0, a - 0) = (-a, a, a)$

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = (a)(-a) + (0)(a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, прямые $AB_1$ и $BD_1$ перпендикулярны.

Ответ: Прямые $AB_1$ и $BD_1$ перпендикулярны.

б) $AC_1$ и $BD$

Найдем координаты направляющих векторов для каждой прямой:

Вектор $\vec{AC_1}$: Координаты точки $C_1$ минус координаты точки $A$.

$\vec{AC_1} = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$

Вектор $\vec{BD}$: Координаты точки $D$ минус координаты точки $B$.

$\vec{BD} = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0)$

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{BD} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(0) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, прямые $AC_1$ и $BD$ перпендикулярны.

Ответ: Прямые $AC_1$ и $BD$ перпендикулярны.

в) $AD_1$ и $CA_1$

Найдем координаты направляющих векторов для каждой прямой:

Вектор $\vec{AD_1}$: Координаты точки $D_1$ минус координаты точки $A$.

$\vec{AD_1} = (0 - 0, a - 0, a - 0) = (0, a, a)$

Вектор $\vec{CA_1}$: Координаты точки $A_1$ минус координаты точки $C$.

$\vec{CA_1} = (0 - a, 0 - a, a - 0) = (-a, -a, a)$

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AD_1} \cdot \vec{CA_1} = (0)(-a) + (a)(-a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, прямые $AD_1$ и $CA_1$ перпендикулярны.

Ответ: Прямые $AD_1$ и $CA_1$ перпендикулярны.