Номер 15.15, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.15. Докажите, что если наклонные, проведенные из одной точки к одной плоскости, имеют равные ортогональные проекции, то равны и сами наклонные.

Дано

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $P$, не лежащая в этой плоскости. Из точки $P$ к плоскости $\alpha$ проведены две наклонные $PA_1$ и $PA_2$. Пусть $O$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезки $PO$ — перпендикуляр к плоскости, $PA_1$ и $PA_2$ — наклонные. Отрезки $OA_1$ и $OA_2$ — ортогональные проекции наклонных $PA_1$ и $PA_2$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Дано, что длины ортогональных проекций равны: $OA_1 = OA_2$.

Найти:

Доказать, что наклонные $PA_1$ и $PA_2$ равны, то есть $PA_1 = PA_2$.

Решение

По определению перпендикуляра к плоскости, отрезок $PO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $O$. В частности, $PO \perp OA_1$ и $PO \perp OA_2$.

Таким образом, треугольники $POA_1$ и $POA_2$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $O$.

Для прямоугольного треугольника $POA_1$ по теореме Пифагора имеем:

$PA_1^2 = PO^2 + OA_1^2$

Для прямоугольного треугольника $POA_2$ по теореме Пифагора имеем:

$PA_2^2 = PO^2 + OA_2^2$

Нам дано, что длины ортогональных проекций равны: $OA_1 = OA_2$.

Также отрезок $PO$ является общей стороной для обоих треугольников. Следовательно, $PO^2$ — одинаковая величина для обеих формул.

Подставим $OA_1 = OA_2$ в выражения для $PA_1^2$ и $PA_2^2$:

Так как $OA_1^2 = OA_2^2$ и $PO^2 = PO^2$, то правые части уравнений равны:

$PO^2 + OA_1^2 = PO^2 + OA_2^2$

Отсюда следует, что:

$PA_1^2 = PA_2^2$

Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, мы можем взять квадратный корень из обеих частей равенства:

$PA_1 = PA_2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если наклонные, проведенные из одной точки к одной плоскости, имеют равные ортогональные проекции, то равны и сами наклонные.