Номер 15.16, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.16. Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр окружности, описанной около основания этой пирамиды.

Дано:

Пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$ с вершиной $S$ и основанием $A_1 A_2 \dots A_n$.

Боковые ребра равны: $S A_1 = S A_2 = \dots = S A_n$.

Найти:

Доказать, что высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на основание, проходит через центр окружности, описанной около основания $A_1 A_2 \dots A_n$.

Решение:

Пусть дана пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$ с вершиной $S$ и основанием $A_1 A_2 \dots A_n$.

Пусть $H$ — основание высоты пирамиды, опущенной из вершины $S$ на плоскость основания. То есть, $S H$ — это высота пирамиды, и $S H \perp \text{плоскости основания}$.

По условию, все боковые ребра пирамиды равны: $S A_1 = S A_2 = \dots = S A_n$. Обозначим эту общую длину $L$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $S H$, боковыми ребрами $S A_i$ и отрезками $H A_i$. Так как $S H$ перпендикулярна плоскости основания, то $S H$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $H$. Следовательно, треугольники $S H A_1, S H A_2, \dots, S H A_n$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

Применяя теорему Пифагора для каждого из этих прямоугольных треугольников, получаем:

$S A_1^2 = S H^2 + H A_1^2$

$S A_2^2 = S H^2 + H A_2^2$

...

$S A_n^2 = S H^2 + H A_n^2$

Поскольку $S A_1 = S A_2 = \dots = S A_n = L$, и $S H = h$ (высота пирамиды), то все эти уравнения можно переписать как:

$L^2 = h^2 + H A_i^2$ для любого $i \in \{1, 2, \dots, n\}$.

Из этого следует, что $H A_i^2 = L^2 - h^2$.

Поскольку $L$ и $h$ являются константами (длина бокового ребра и длина высоты соответственно), то величина $L^2 - h^2$ также является константой. Значит, $H A_i^2$ является константой для всех $i$.

Это означает, что $H A_1 = H A_2 = \dots = H A_n$.

Таким образом, точка $H$ (основание высоты пирамиды) равноудалена от всех вершин основания $A_1, A_2, \dots, A_n$.

По определению, центр окружности, описанной около многоугольника, является точкой, равноудаленной от всех его вершин.

Следовательно, точка $H$ совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.

Поскольку $H$ является основанием высоты пирамиды, это означает, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около ее основания.

Ответ: Доказано.