Номер 15.8, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 15.7) изобразите ортогональную проекцию на плоскость $ACC_1$ отрезка:

а) $BB_1$;

б) $BC_1$;

в) $BD_1$.

Рис. 15.7

а) $BB_1$

Найти: ортогональную проекцию отрезка $BB_1$ на плоскость $ACC_1$.

Решение:
Для нахождения ортогональной проекции отрезка на плоскость, необходимо найти ортогональные проекции его концевых точек на эту плоскость. Пусть $O$ – центр грани $ABCD$ (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$), а $O_1$ – центр грани $A_1B_1C_1D_1$ (точка пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$).

Найдем проекцию точки $B$ на плоскость $ACC_1$.
В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Точка $O$ является серединой $BD$, следовательно, отрезок $BO \perp AC$.
Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AC$.
Плоскость $ACC_1$ содержит прямые $AC$ и $CC_1$.
Так как $BO \perp AC$ (из свойств квадрата) и $BO \perp CC_1$ (так как $BO$ лежит в плоскости $ABCD$, а $CC_1$ перпендикулярна ей), то отрезок $BO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) плоскости $ACC_1$. Следовательно, $BO \perp ACC_1$.
Поскольку $O$ лежит на $AC$, а $AC$ принадлежит плоскости $ACC_1$, точка $O$ является точкой пересечения перпендикуляра, опущенного из $B$, с плоскостью $ACC_1$. Таким образом, ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$.

Найдем проекцию точки $B_1$ на плоскость $ACC_1$.
Аналогично, в квадрате $A_1B_1C_1D_1$ диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ взаимно перпендикулярны, то есть $A_1C_1 \perp B_1D_1$. Точка $O_1$ является серединой $B_1D_1$, следовательно, отрезок $B_1O_1 \perp A_1C_1$.
Ребро $C_1C$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а значит, $C_1C$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $B_1O_1$.
Так как $B_1O_1 \perp A_1C_1$ и $B_1O_1 \perp C_1C$, то отрезок $B_1O_1$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($A_1C_1$ и $C_1C$) плоскости $ACC_1$. Следовательно, $B_1O_1 \perp ACC_1$.
Поскольку $O_1$ лежит на $A_1C_1$, а $A_1C_1$ принадлежит плоскости $ACC_1$, точка $O_1$ является точкой пересечения перпендикуляра, опущенного из $B_1$, с плоскостью $ACC_1$. Таким образом, ортогональной проекцией точки $B_1$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O_1$.
Проекцией отрезка $BB_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $OO_1$.

Ответ: Отрезок $OO_1$, где $O$ и $O_1$ – центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ соответственно.

б) $BC_1$

Найти: ортогональную проекцию отрезка $BC_1$ на плоскость $ACC_1$.

Решение:
Как установлено в пункте а), ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$ (центр грани $ABCD$).
Точка $C_1$ лежит в плоскости $ACC_1$ (так как плоскость $ACC_1$ проходит через $C_1$). Следовательно, ортогональной проекцией точки $C_1$ на плоскость $ACC_1$ является сама точка $C_1$.
Проекцией отрезка $BC_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $OC_1$.

Ответ: Отрезок $OC_1$, где $O$ – центр грани $ABCD$.

в) $BD_1$

Найти: ортогональную проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость $ACC_1$.

Решение:
Как установлено в пункте а), ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$ (центр грани $ABCD$).

Найдем проекцию точки $D_1$ на плоскость $ACC_1$.
Как и в случае с точкой $B_1$, точка $O_1$ является центром грани $A_1B_1C_1D_1$.
В квадрате $A_1B_1C_1D_1$ диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ взаимно перпендикулярны, то есть $A_1C_1 \perp B_1D_1$. Точка $O_1$ является серединой $B_1D_1$, следовательно, отрезок $D_1O_1 \perp A_1C_1$.
Ребро $C_1C$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а значит, $C_1C$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $D_1O_1$.
Так как $D_1O_1 \perp A_1C_1$ и $D_1O_1 \perp C_1C$, то отрезок $D_1O_1$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($A_1C_1$ и $C_1C$) плоскости $ACC_1$. Следовательно, $D_1O_1 \perp ACC_1$.
Поскольку $O_1$ лежит на $A_1C_1$, а $A_1C_1$ принадлежит плоскости $ACC_1$, точка $O_1$ является точкой пересечения перпендикуляра, опущенного из $D_1$, с плоскостью $ACC_1$. Таким образом, ортогональной проекцией точки $D_1$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O_1$.
Проекцией отрезка $BD_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $OO_1$.

Ответ: Отрезок $OO_1$, где $O$ и $O_1$ – центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ соответственно.