Номер 17.12, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.12. У правильной четырехугольной пирамиды все ребра равны (рис. 17.13). Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды.

Рис. 17.13

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны. Обозначим длину ребра как $a$.

Найти:

Тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды ($\tan \alpha$).

Решение:

Пусть длина каждого ребра пирамиды равна $a$.

Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основанием является квадрат. Обозначим вершины основания $A, B, C, D$, а вершину пирамиды $S$. Центр основания, являющийся ортогональной проекцией вершины $S$ на плоскость основания, обозначим $O$.

Поскольку все ребра пирамиды равны $a$, каждая боковая грань (например, $\triangle SBC$) является равносторонним треугольником со стороной $a$.

Двугранный угол между боковой гранью $SBC$ и основанием $ABCD$ - это угол между апофемой боковой грани (высотой $\triangle SBC$) и ее проекцией на плоскость основания. Проведем апофему $SM$ к ребру $BC$, где $M$ - середина $BC$. Так как $\triangle SBC$ - равносторонний, $SM$ является его высотой.

Длина апофемы $SM$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Точка $M$ - середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$. Расстояние от центра квадрата $O$ до середины стороны $BC$ равно половине стороны квадрата $BC$.

$OM = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, треугольник $\triangle SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Угол $\angle SMO$ - это искомый двугранный угол $\alpha$.

Для нахождения тангенса угла $\alpha$ нам необходимо найти высоту пирамиды $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$. $SC$ - это боковое ребро пирамиды, равное $a$. $OC$ - это половина диагонали основания $ABCD$.

Диагональ квадрата $AC$ со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle SOC$:

$SO^2 + OC^2 = SC^2$

$SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2$

$SO^2 + \frac{2a^2}{4} = a^2$

$SO^2 + \frac{a^2}{2} = a^2$

$SO^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь, в прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$, найдем тангенс угла $\alpha = \angle SMO$:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{SO}{OM}$

Подставляем найденные значения $SO$ и $OM$:

$\tan \alpha = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}}$

$\tan \alpha = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{a}$

$\tan \alpha = \sqrt{2}$

Ответ:

Тангенс двугранного угла равен $\sqrt{2}$.