Номер 17.14, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.14. Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота около 138 м. Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием этой пирамиды. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите приближенное значение этого угла.

Дано

Правильная четырехугольная пирамида (Пирамида Хеопса).

Сторона основания: $a = 230$ м

Высота пирамиды: $H = 138$ м

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти

Тангенс двугранного угла между боковой гранью и основанием ($\tan(\alpha)$).

Приближенное значение этого угла ($\alpha$).

Решение

Для определения двугранного угла между боковой гранью и основанием правильной четырехугольной пирамиды необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой основания и апофемой боковой грани.

Апофема основания $h_b$ для правильной четырехугольной пирамиды (с квадратным основанием) равна половине длины стороны основания:

$h_b = \frac{a}{2}$

$h_b = \frac{230\text{ м}}{2} = 115\text{ м}$

Двугранный угол $\alpha$ между боковой гранью и основанием – это угол между апофемой боковой грани и апофемой основания. В образованном прямоугольном треугольнике высота пирамиды $H$ является противолежащим катетом к углу $\alpha$, а апофема основания $h_b$ является прилежащим катетом. Следовательно, тангенс этого угла можно найти как отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{h_b}$

Тангенс двугранного угла

Вычислим значение тангенса:

$\tan(\alpha) = \frac{138\text{ м}}{115\text{ м}} = 1.2$

Ответ: $\tan(\alpha) = 1.2$

Приближенное значение угла

Для нахождения приближенного значения угла $\alpha$ используем обратную тригонометрическую функцию арктангенс:

$\alpha = \arctan(1.2)$

Используя калькулятор или таблицу тригонометрических функций, находим приближенное значение угла:

$\alpha \approx 50.19^\circ$

Округляем до целых градусов, как это часто делается при использовании таблиц:

$\alpha \approx 50^\circ$

Ответ: $\alpha \approx 50^\circ$