Номер 17.16, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.16. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

Решение:

Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем систему координат с началом в точке $D$. Оси координат направим вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$.

Координаты вершин куба будут:

• $D = (0,0,0)$
• $A = (a,0,0)$
• $B = (a,a,0)$
• $C = (0,a,0)$
• $D_1 = (0,0,a)$
• $A_1 = (a,0,a)$
• $B_1 = (a,a,a)$
• $C_1 = (0,a,a)$

Плоскость $ABC_1$:

Данная плоскость проходит через точки $A(a,0,0)$, $B(a,a,0)$ и $C_1(0,a,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{AB} = B - A = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$
• $\vec{AC_1} = C_1 - A = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a))$

$\vec{n_1} = a^2 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + a^2 \mathbf{k} = (a^2, 0, a^2)$.

Для удобства можно взять упрощенный нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 0, 1)$ (разделив на $a^2$).

Плоскость $BCD_1$:

Данная плоскость проходит через точки $B(a,a,0)$, $C(0,a,0)$ и $D_1(0,0,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{CB} = B - C = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$
• $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-0, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CD_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0)$

$\vec{n_2} = 0 \mathbf{i} - a^2 \mathbf{j} - a^2 \mathbf{k} = (0, -a^2, -a^2)$.

Для удобства можно взять упрощенный нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 1)$ (разделив на $-a^2$).

Угол между плоскостями:

Угол $\phi$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла определяется формулой:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Вычислим длины (модули) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$