Страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.8). Найдите длину вектора $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

Рис. 20.8

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Длину вектора $|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}|$.

Решение:

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, лежащие в плоскости основания призмы $ABC$. Согласно правилу сложения векторов для треугольника, их сумма $\vec{AB} + \vec{AC}$ равна $2\vec{AM}$, где $M$ - середина стороны $BC$. Это свойство применимо, поскольку $A, B, C$ являются вершинами треугольника, и $\vec{AM}$ является медианой.

В правильном (равностороннем) треугольнике $ABC$ со стороной $a = 1$, медиана $AM$ также является высотой. Длина медианы (высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, длина вектора $2\vec{AM}$ равна $|2\vec{AM}| = 2 \cdot AM = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$. Вектор $2\vec{AM}$ лежит в плоскости основания $ABC$. Это означает, что векторы $2\vec{AM}$ и $\vec{AA_1}$ ортогональны.

Длина вектора $\vec{AA_1}$ равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{AA_1}| = 1$.

Обозначим искомый вектор как $\vec{X} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

Мы можем переписать его как $\vec{X} = (2\vec{AM}) + \vec{AA_1}$.

Так как векторы $2\vec{AM}$ и $\vec{AA_1}$ ортогональны, квадрат длины их суммы равен сумме квадратов их длин:

$|\vec{X}|^2 = |2\vec{AM}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$

$|\vec{X}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$|\vec{X}|^2 = 3 + 1$

$|\vec{X}|^2 = 4$

Следовательно, $|\vec{X}| = \sqrt{4} = 2$.

Альтернативный метод с использованием координатной системы:

Поместим вершину $A$ в начало координат: $A = (0, 0, 0)$.

Поскольку $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной 1, и $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, можно задать координаты вершин следующим образом:

Вершина $B$ находится на оси $x$: $B = (1, 0, 0)$.

Вершина $C$ находится в плоскости $xy$. Поскольку $AC=1$ и угол $\angle BAC = 60^\circ$ (в равностороннем треугольнике), координаты $C$ будут:

$C = (1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершина $A_1$ находится над $A$ вдоль оси $z$, так как $AA_1$ перпендикулярна основанию и имеет длину 1:

$A_1 = (0, 0, 1)$.

Теперь выразим векторы в координатной форме:

$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)$

$\vec{AC} = C - A = (\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{AA_1} = A_1 - A = (0 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$

Найдем сумму этих векторов:

$\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1} = (1 + \frac{1}{2} + 0, 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 0, 0 + 0 + 1)$

$\vec{S} = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем длину вектора $\vec{S}$ по формуле длины вектора в декартовых координатах:

$|\vec{S}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2}$

$|\vec{S}| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1}$

$|\vec{S}| = \sqrt{\frac{12}{4} + 1}$

$|\vec{S}| = \sqrt{3 + 1}$

$|\vec{S}| = \sqrt{4}$

$|\vec{S}| = 2$

Ответ:

2

20.10. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\overline{AB} + \overline{AD}$;

б) $\overline{AB} + \overline{AD_1}$;

в) $\overline{AB} + \overline{CC_1}$;

г) $\overline{AB} + \overline{CD_1}$;

д) $\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA_1}$.

20.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Для единичного куба длина ребра $a = 1$.

Найти: Длину вектора для каждого случая.

Решение

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Соответствующие векторы, используемые в задаче:

• $\vec{AB} = B - A = (1,0,0)$
• $\vec{AD} = D - A = (0,1,0)$
• $\vec{AA_1} = A_1 - A = (0,0,1)$
• $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,1,1)$
• $\vec{CC_1} = C_1 - C = (1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1)$
• $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0,1,1) - (1,1,0) = (-1,0,1)$

а) $\vec{AB} + \vec{AD}$

По правилу параллелограмма $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной 1.

Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $|\vec{AC}| = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Используя координаты:

$\vec{AB} + \vec{AD} = (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0)$

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{AD}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

б) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

Используем координаты:

$\vec{AB} = (1,0,0)$

$\vec{AD_1} = (0,1,1)$

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = (1,0,0) + (0,1,1) = (1,1,1)$

Вектор $(1,1,1)$ соответствует главной диагонали куба $\vec{AC_1}$.

Длина главной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $|\vec{AC_1}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{AD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

в) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$

Вектор $\vec{CC_1}$ параллелен вектору $\vec{AA_1}$ и имеет ту же длину (равную длине ребра куба $a=1$). Следовательно, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = (0,0,1)$.

Используем координаты:

$\vec{AB} = (1,0,0)$

$\vec{CC_1} = (0,0,1)$

$\vec{AB} + \vec{CC_1} = (1,0,0) + (0,0,1) = (1,0,1)$

Вектор $(1,0,1)$ соответствует диагонали боковой грани $\vec{AB_1}$.

Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $|\vec{AB_1}| = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{CC_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$

Используем координаты:

$\vec{AB} = (1,0,0)$

$\vec{CD_1} = (-1,0,1)$

$\vec{AB} + \vec{CD_1} = (1,0,0) + (-1,0,1) = (1-1, 0+0, 0+1) = (0,0,1)$

Вектор $(0,0,1)$ соответствует ребру куба $\vec{AA_1}$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{CD_1}| = |\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$.

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

По правилу параллелепипеда, сумма трех векторов, исходящих из одной вершины куба и образующих его ребра, равна вектору, ведущему в противоположную вершину куба. То есть, $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ является главной диагональю куба.

Длина главной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $|\vec{AC_1}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Используя координаты:

$\vec{AB} = (1,0,0)$

$\vec{AD} = (0,1,0)$

$\vec{AA_1} = (0,0,1)$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = (1,0,0) + (0,1,0) + (0,0,1) = (1,1,1)$

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

20.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} + \vec{FE}$

б) $\vec{AB} + \vec{DC}$

в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$

г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как значения безразмерны или представлены в универсальных единицах, которые не изменяют результат.

Найти:

Длину следующих векторов:

а) $\vec{AB} + \vec{FE}$

б) $\vec{AB} + \vec{DC}$

в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$

г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$

Решение:

Для решения задачи будем использовать свойства векторов и геометрию правильного шестиугольника и призмы.

а) $\vec{AB} + \vec{FE}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\vec{FE}$ параллелен вектору $\vec{BC}$, имеет ту же длину и направление. Следовательно, $\vec{FE} = \vec{BC}$.Тогда сумма векторов принимает вид: $\vec{AB} + \vec{FE} = \vec{AB} + \vec{BC}$.По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{AC}$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC$ между сторонами $AB$ и $BC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.По теореме косинусов для треугольника $ABC$:$|\vec{AC}|^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$|\vec{AC}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$$|\vec{AC}|^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2)$$|\vec{AC}|^2 = 2 + 1 = 3$$|\vec{AC}| = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $\vec{AB} + \vec{DC}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\vec{DC}$ параллелен вектору $\vec{AB}$, имеет ту же длину, но противоположное направление. Следовательно, $\vec{DC} = -\vec{AB}$.Тогда сумма векторов принимает вид: $\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{AB} + (-\vec{AB}) = \vec{0}$.

Длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: $0$

в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$

Вектор $\vec{AC}$ лежит в плоскости основания призмы. Его длина была найдена в пункте а): $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$.Вектор $\vec{DD_1}$ является ребром призмы, перпендикулярным плоскости основания. Его длина равна 1, так как все ребра призмы равны 1.Так как вектор $\vec{AC}$ лежит в плоскости основания, а вектор $\vec{DD_1}$ перпендикулярен этой плоскости, то эти два вектора ортогональны.

Длина суммы двух ортогональных векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2}$.$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = \sqrt{|\vec{AC}|^2 + |\vec{DD_1}|^2}$$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}$$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = \sqrt{3 + 1}$$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = \sqrt{4}$$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = 2$

Ответ: $2$

г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$

Разложим вектор $\vec{CE_1}$ на сумму двух векторов: $\vec{CE_1} = \vec{CE} + \vec{EE_1}$.Тогда искомая сумма векторов будет: $\vec{AB} + \vec{CE_1} = \vec{AB} + \vec{CE} + \vec{EE_1}$.

Рассмотрим сумму векторов $\vec{AB} + \vec{CE}$ в плоскости основания.Пусть $O$ - центр правильного шестиугольника $ABCDEF$.Вектор $\vec{AB}$ можно представить как $\vec{OB} - \vec{OA}$.Вектор $\vec{CE}$ можно представить как $\vec{OE} - \vec{OC}$.В правильном шестиугольнике вектор из центра к вершине противоположен вектору из центра к противоположной вершине, то есть $\vec{OE} = -\vec{OB}$ и $\vec{OC} = -\vec{OF}$.Подставим эти соотношения:$\vec{CE} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OF}) = \vec{OF} - \vec{OB}$.Тогда сумма $\vec{AB} + \vec{CE}$ будет:$\vec{AB} + \vec{CE} = (\vec{OB} - \vec{OA}) + (\vec{OF} - \vec{OB})$$\vec{AB} + \vec{CE} = \vec{OF} - \vec{OA}$.Вектор $\vec{OF} - \vec{OA}$ является вектором $\vec{AF}$.

Длина вектора $\vec{AF}$ равна длине стороны правильного шестиугольника, то есть $|\vec{AF}| = 1$.

Теперь нам нужно найти длину вектора $\vec{AF} + \vec{EE_1}$.Вектор $\vec{AF}$ лежит в плоскости основания. Его длина $|\vec{AF}| = 1$.Вектор $\vec{EE_1}$ является ребром призмы, перпендикулярным плоскости основания. Его длина $|\vec{EE_1}| = 1$.Так как эти векторы ортогональны, используем формулу для длины суммы ортогональных векторов:$|\vec{AF} + \vec{EE_1}| = \sqrt{|\vec{AF}|^2 + |\vec{EE_1}|^2}$$|\vec{AF} + \vec{EE_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2}$$|\vec{AF} + \vec{EE_1}| = \sqrt{1 + 1}$$|\vec{AF} + \vec{EE_1}| = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

20.12. В каком случае длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых?

В каком случае длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых?

Решение

Пусть даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Длина суммы векторов выражается формулой:

$||\vec{a} + \vec{b}||^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Зная, что скалярное произведение $\vec{x} \cdot \vec{y} = ||\vec{x}|| \cdot ||\vec{y}|| \cos\theta$, где $\theta$ - угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$, а также $\vec{x} \cdot \vec{x} = ||\vec{x}||^2$, получаем:

$||\vec{a} + \vec{b}||^2 = ||\vec{a}||^2 + 2||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cos\theta + ||\vec{b}||^2$

Мы ищем случай, когда длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых, то есть:

$||\vec{a} + \vec{b}|| = ||\vec{a}|| + ||\vec{b}||$

Так как обе части равенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(||\vec{a} + \vec{b}||)^2 = (||\vec{a}|| + ||\vec{b}||)^2$

Подставим выражение для $||\vec{a} + \vec{b}||^2$ и раскроем квадрат суммы справа:

$||\vec{a}||^2 + 2||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cos\theta + ||\vec{b}||^2 = ||\vec{a}||^2 + 2||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| + ||\vec{b}||^2$

Вычитая $||По||^2$ и $||Ве||^2$ из обеих частей, а также деля на $2$, получаем:

$||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cos\theta = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||$

Рассмотрим два случая:

1. Если хотя бы один из векторов является нулевым вектором (т.е., $||\vec{a}|| = 0$ или $||\vec{b}|| = 0$).

Если $\vec{a} = \vec{0}$, то $||\vec{0} + \vec{b}|| = ||\vec{b}||$ и $||\vec{0}|| + ||\vec{b}|| = 0 + ||\vec{b}|| = ||\vec{b}||$. Равенство выполняется. Аналогично, если $\vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор считается коллинеарным с любым другим вектором и направленным с ним. Таким образом, в этом случае условие выполняется.

2. Если оба вектора не являются нулевыми (т.е., $||\vec{a}|| \neq 0$ и $||\vec{b}|| \neq 0$).

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения $||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cos\theta = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||$ на $||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||$:

$\cos\theta = 1$

Это равенство истинно, когда угол $\theta = 0^\circ$ (или $360^\circ k$, где $k$ - целое число). Угол в $0^\circ$ между векторами означает, что они сонаправлены (направлены в одну сторону) и коллинеарны.

Таким образом, длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых тогда и только тогда, когда векторы сонаправлены (т.е. угол между ними равен $0^\circ$) или хотя бы один из них является нулевым вектором.

Ответ: Длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых, если векторы сонаправлены или хотя бы один из них является нулевым вектором.

20.13. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.11) укажите вектор:

а) $ \vec{AB} - \vec{AA_1} $;

б) $ \vec{AC} - \vec{DD_1} $;

в) $ \vec{AB_1} - \vec{BC_1} $;

г) $ 2\vec{AB} + \vec{BD_1} $.

Рис. 20.11

Дано: Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.11).

Найти: Вектор, равный заданному выражению.

Решение

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов, а также свойствами векторов в параллелепипеде, согласно которым противоположные ребра и диагонали параллельных граней, являющиеся противоположными сторонами параллелограммов, равны и параллельны, а также векторы, соединяющие соответствующие вершины параллельных граней, равны.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ справедливы следующие векторные равенства:

• $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$

• $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$

• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$

Применим эти свойства и правила векторной алгебры для каждого выражения.

а) $\vec{AB} - \vec{AA_1}$

Используем правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$. В данном случае $P=A$, $Q=B$, $R=A_1$.

$\vec{AB} - \vec{AA_1} = \vec{A_1B}$

Ответ: $\vec{A_1B}$

б) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$

Заменим вектор $\vec{DD_1}$ на равный ему вектор $\vec{AA_1}$ (по свойству параллелепипеда):

$\vec{AC} - \vec{DD_1} = \vec{AC} - \vec{AA_1}$

Теперь применим правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$. В данном случае $P=A$, $Q=C$, $R=A_1$.

$\vec{AC} - \vec{AA_1} = \vec{A_1C}$

Ответ: $\vec{A_1C}$

в) $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$

Выразим каждый вектор через векторы, исходящие из общей вершины $A$.

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю грани $ABA_1B_1$. По правилу параллелограмма $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$.

Вектор $\vec{BC_1}$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. По правилу параллелограмма $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{BB_1}$.

Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$ (по свойству параллелепипеда) и $\vec{BC} = \vec{AD}$ (противоположные стороны параллелограмма $ABCD$), то:

$\vec{BC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$\vec{AB_1} - \vec{BC_1} = (\vec{AB} + \vec{AA_1}) - (\vec{AD} + \vec{AA_1})$

Раскроем скобки:

$\vec{AB_1} - \vec{BC_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} - \vec{AD} - \vec{AA_1}$

Сократим $\vec{AA_1}$:

$\vec{AB_1} - \vec{BC_1} = \vec{AB} - \vec{AD}$

Используем правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$. В данном случае $P=A$, $Q=B$, $R=D$.

$\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$

Ответ: $\vec{DB}$

г) $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$

Выразим вектор $\vec{BD_1}$ через векторы, исходящие из вершины $A$.

Вектор $\vec{BD_1}$ можно представить как разность векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{AB}$ (правило вычитания векторов: $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$):

$\vec{BD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AB}$

Подставим это в исходное выражение:

$2\vec{AB} + (\vec{AD_1} - \vec{AB})$

Раскроем скобки и упростим:

$2\vec{AB} + \vec{AD_1} - \vec{AB} = \vec{AB} + \vec{AD_1}$

Теперь выразим $\vec{AD_1}$ через векторы, исходящие из вершины $A$. Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. По правилу параллелограмма $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Подставим это обратно:

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{AA_1})$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Эта сумма представляет собой вектор главной диагонали параллелепипеда, исходящей из вершины $A$ и заканчивающейся в вершине $C_1$.

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Следовательно:

$2\vec{AB} + \vec{BD_1} = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$

20.14. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} - \vec{AA_1}$;

б) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$;

в) $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$;

г) $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Так как куб единичный, все измерения представлены в условных единицах длины, которые не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Длину следующих векторов:

а) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1}$

б) $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DD_1}$

в) $\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1}$

г) $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}$

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$.

Так как куб единичный, длины его ребер равны 1.

Ориентируем оси координат вдоль ребер куба, выходящих из вершины $A$:

Ось X вдоль $\overrightarrow{AB}$.

Ось Y вдоль $\overrightarrow{AD}$.

Ось Z вдоль $\overrightarrow{AA_1}$.

Тогда координаты вершин куба будут:

$A=(0,0,0)$

$B=(1,0,0)$

$C=(1,1,0)$

$D=(0,1,0)$

$A_1=(0,0,1)$

$B_1=(1,0,1)$

$C_1=(1,1,1)$

$D_1=(0,1,1)$

Длина вектора $\vec{v}=(x,y,z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

а) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1}$

Определим координаты каждого вектора:

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0)$.

$\overrightarrow{AA_1} = A_1 - A = (0,0,1) - (0,0,0) = (0,0,1)$.

Найдем разность этих векторов:

$\vec{v}_a = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1} = (1,0,0) - (0,0,1) = (1-0, 0-0, 0-1) = (1,0,-1)$.

Найдем длину полученного вектора $\vec{v}_a$:

$|\vec{v}_a| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DD_1}$

Определим координаты каждого вектора:

$\overrightarrow{AC} = C - A = (1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)$.

$\overrightarrow{DD_1} = D_1 - D = (0,1,1) - (0,1,0) = (0,0,1)$.

Найдем разность этих векторов:

$\vec{v}_б = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DD_1} = (1,1,0) - (0,0,1) = (1-0, 1-0, 0-1) = (1,1,-1)$.

Найдем длину полученного вектора $\vec{v}_б$:

$|\vec{v}_б| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

в) $\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1}$

Определим координаты каждого вектора:

$\overrightarrow{AB_1} = B_1 - A = (1,0,1) - (0,0,0) = (1,0,1)$.

$\overrightarrow{BC_1} = C_1 - B = (1,1,1) - (1,0,0) = (0,1,1)$.

Найдем разность этих векторов:

$\vec{v}_в = \overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1} = (1,0,1) - (0,1,1) = (1-0, 0-1, 1-1) = (1,-1,0)$.

Найдем длину полученного вектора $\vec{v}_в$:

$|\vec{v}_в| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

г) $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}$

Определим координаты каждого вектора:

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1,0,0)$.

Вектор $2\overrightarrow{AB}$ имеет координаты:

$2\overrightarrow{AB} = 2 \cdot (1,0,0) = (2,0,0)$.

$\overrightarrow{BD_1} = D_1 - B = (0,1,1) - (1,0,0) = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1,1,1)$.

Найдем сумму этих векторов:

$\vec{v}_г = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1} = (2,0,0) + (-1,1,1) = (2-1, 0+1, 0+1) = (1,1,1)$.

Найдем длину полученного вектора $\vec{v}_г$:

$|\vec{v}_г| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

20.15. В тетраэдре ABCD все ребра равны 1 (рис. 20.12). Найдите длину вектора $ \overline{AD} + \overline{BC} $.

Рис. 20.12

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Длина каждого ребра $a = 1$.

Перевод в СИ:

Для данной геометрической задачи не требуется явный перевод в систему СИ, так как длины рёбер представлены безразмерными единицами.

Найти:

Длину вектора $|\vec{AD} + \vec{BC}|$.

Решение:

1. Обозначим искомую длину вектора как $L = |\vec{AD} + \vec{BC}|$. Для нахождения длины суммы двух векторов воспользуемся формулой для квадрата длины вектора, которая выражается через скалярное произведение:

$L^2 = |\vec{AD} + \vec{BC}|^2 = (\vec{AD} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AD} + \vec{BC})$

Раскрывая скалярное произведение, получаем:

$L^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2(\vec{AD} \cdot \vec{BC})$

2. По условию, все рёбра тетраэдра равны 1. Это означает, что длины векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны 1:

$|\vec{AD}| = 1$

$|\vec{BC}| = 1$

3. Теперь необходимо вычислить скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ являются противоположными рёбрами тетраэдра. Чтобы найти их скалярное произведение, выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы, выходящие из общей вершины, например, $A$.

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

Тогда скалярное произведение примет вид:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{AD} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB}$

4. Тетраэдр $ABCD$ является правильным, поскольку все его рёбра равны. В правильном тетраэдре все грани представляют собой равносторонние треугольники. Следовательно, углы между любыми рёбрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$.

Используем формулу скалярного произведения $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$:

$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = |\vec{AD}| |\vec{AC}| \cos(\angle DAC)$

Так как $|\vec{AD}| = 1$, $|\vec{AC}| = 1$ и $\angle DAC = 60^\circ$ (угол в равностороннем треугольнике $ACD$), получаем:

$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Аналогично для $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| |\vec{AB}| \cos(\angle DAB)$

Так как $|\vec{AD}| = 1$, $|\vec{AB}| = 1$ и $\angle DAB = 60^\circ$ (угол в равностороннем треугольнике $ABD$), получаем:

$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

5. Теперь подставим найденные значения обратно в выражение для $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Это подтверждает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ ортогональны (перпендикулярны), что является известным свойством противоположных рёбер правильного тетраэдра.

6. Подставим все найденные значения в формулу для $L^2$:

$L^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2(\vec{AD} \cdot \vec{BC})$

$L^2 = 1^2 + 1^2 + 2(0)$

$L^2 = 1 + 1 + 0$

$L^2 = 2$

7. Извлечём квадратный корень, чтобы найти длину вектора $L$:

$L = \sqrt{2}$

Ответ:

Длина вектора $\vec{AD} + \vec{BC}$ равна $\sqrt{2}$.

20.16. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите такую точку $X$, для которой выполняется равенство:

а) $\overline{XA} + \overline{XC} = \overline{0}$;

б) $\overline{XA} + \overline{XB} + \overline{XC} + \overline{XD} = \overline{0}$;

в) $\overline{XA} + \overline{XB} + \overline{XC} + \overline{XD} + \overline{XA_1} + \overline{XB_1} + \overline{XC_1} + \overline{XD_1} = \overline{0}$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторные равенства:
а) $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{0}$
б) $\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD} = \vec{0}$
в) $\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD} + \vec{XA_1} + \vec{XB_1} + \vec{XC_1} + \vec{XD_1} = \vec{0}$

Найти:

Точку $X$ для каждого равенства.

Решение:

Векторная сумма $\sum_{i=1}^{n} \vec{XP_i} = \vec{0}$ выполняется, если точка $X$ является центром масс (центроидом) точек $P_1, P_2, \dots, P_n$.
Докажем это. Пусть $O$ — произвольный начало координат. Тогда каждый вектор $\vec{XP_i}$ можно представить как $\vec{OP_i} - \vec{OX}$.
Подставим это в сумму:
$\sum_{i=1}^{n} (\vec{OP_i} - \vec{OX}) = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{n} \vec{OP_i} - \sum_{i=1}^{n} \vec{OX} = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{n} \vec{OP_i} - n \cdot \vec{OX} = \vec{0}$
$n \cdot \vec{OX} = \sum_{i=1}^{n} \vec{OP_i}$
$\vec{OX} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \vec{OP_i}$
Эта формула определяет $X$ как центроид (барыцентр) системы точек $P_1, \dots, P_n$.

а)

Дано равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{0}$.
Здесь $n=2$, и точки - $A$ и $C$. Точка $X$ является центроидом точек $A$ и $C$.
Центроид двух точек - это середина отрезка, соединяющего эти точки.
Следовательно, точка $X$ - это середина отрезка $AC$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точки $A$ и $C$ являются противоположными вершинами нижней грани $ABCD$. Середина отрезка $AC$ - это центр грани $ABCD$.
Ответ: Точка $X$ - центр грани $ABCD$.

б)

Дано равенство $\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD} = \vec{0}$.
Здесь $n=4$, и точки - $A, B, C, D$. Точка $X$ является центроидом точек $A, B, C, D$.
Точки $A, B, C, D$ являются вершинами грани $ABCD$. Центроид вершин плоской фигуры - это её геометрический центр.
Следовательно, точка $X$ - это центр грани $ABCD$.
Ответ: Точка $X$ - центр грани $ABCD$.

в)

Дано равенство $\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD} + \vec{XA_1} + \vec{XB_1} + \vec{XC_1} + \vec{XD_1} = \vec{0}$.
Здесь $n=8$, и точки - $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$. Точка $X$ является центроидом всех восьми вершин куба.
Центроид всех вершин многогранника - это его геометрический центр.
Следовательно, точка $X$ - это центр куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Ответ: Точка $X$ - центр куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Рис. 20.12

20.17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.9). Найдите такие числа $t$, $s$, для которых:

а) $\vec{AC} = t \vec{AB} + s \vec{AF}$;

б) $\vec{AD} = t \vec{AB} + s \vec{AF}$;

в) $\vec{AE} = t \vec{AB} + s \vec{AF}$;

г) $\vec{AC_1} = t \vec{AB} + s \vec{AF_1}$.

Рис. 20.9

В данной задаче нам необходимо найти числа $t$ и $s$ для различных векторных равенств в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1.

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер $L = 1$.

Длина ребра $L = 1$ (единица длины). Поскольку задача носит относительный характер (отношения векторов), перевод в метры не требуется.

Числа $t$ и $s$ для следующих векторных равенств:

• $\vec{AC} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$
• $\vec{AD} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$
• $\vec{AE} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$
• $\vec{AC_1} = t\vec{AB} + s\vec{AF_1}$

Для удобства решения введем декартову систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ориентируем гексагон $ABCDEF$ в плоскости $xy$ так, чтобы вектор $\vec{AB}$ лежал вдоль положительной оси $x$. Тогда координаты вершины $B$ будут $B(1,0,0)$.

В правильном шестиугольнике внутренний угол составляет $120^\circ$. На рисунке вершины $A, B, C, D, E, F$ расположены по часовой стрелке. Угол между вектором $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ равен $120^\circ$. Если $\vec{AB}$ лежит на оси $x$, то $\vec{AF}$ будет направлен под углом $-120^\circ$ относительно положительной оси $x$. Координаты вершины $F$ будут $F(1 \cdot \cos(-120^\circ), 1 \cdot \sin(-120^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Таким образом, $\vec{AF} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Высота призмы также равна 1, поэтому вектор $\vec{AA_1}$ параллелен оси $z$: $\vec{AA_1} = (0,0,1)$.

Обозначим базисные векторы: $\vec{AB} = \mathbf{u} = (1,0,0)$ и $\vec{AF} = \mathbf{v} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Для любого вектора $\vec{AX} = (x_X, y_X, 0)$ в плоскости основания, который выражается как $t\mathbf{u} + s\mathbf{v}$, получаем систему уравнений:

$x_X = t \cdot 1 + s \cdot (-1/2) \implies x_X = t - s/2$ $y_X = t \cdot 0 + s \cdot (-\sqrt{3}/2) \implies y_X = -s\sqrt{3}/2$

Из второго уравнения выразим $s$: $s = -2y_X/\sqrt{3}$. Подставим $s$ в первое уравнение, чтобы найти $t$: $t = x_X + s/2 = x_X + (-2y_X/\sqrt{3})/2 = x_X - y_X/\sqrt{3}$. Итак, общие формулы для $t$ и $s$ в плоскости основания: $t = x_X - y_X/\sqrt{3}$ и $s = -2y_X/\sqrt{3}$.

а) $\vec{AC} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$

Координаты вершины $C$: Вектор $\vec{BC}$ имеет длину 1 и образует угол $-60^\circ$ с осью $x$ (если $\vec{AB}$ вдоль $x$). $\vec{BC} = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Вектор $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (1,0,0) + (1/2, -\sqrt{3}/2, 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Используем полученные общие формулы для $t$ и $s$ при $x_C = 3/2$, $y_C = -\sqrt{3}/2$: $s = -2(-\sqrt{3}/2)/\sqrt{3} = 1$. $t = 3/2 - (-\sqrt{3}/2)/\sqrt{3} = 3/2 + 1/2 = 2$.

Ответ: $t=2, s=1$.

б) $\vec{AD} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$

Вектор $\vec{AD}$ является главной диагональю правильного шестиугольника. Его длина равна $2L = 2$. Вектор $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$. В правильном шестиугольнике $\vec{CD}$ параллелен и равен $\vec{AF}$, но противоположен по направлению, то есть $\vec{CD} = -\vec{AF}$. Однако проще использовать координаты $D$. $D$ - это точка, противоположная $A$ относительно центра шестиугольника. Угол $BAD$ равен $60^\circ$ (если идти от $AB$ в сторону $AF$, то есть против часовой стрелки), но так как обход по часовой стрелке, то угол равен $-60^\circ$. Координаты вершины $D$: $D = A + (2 \cdot \cos(-60^\circ), 2 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (2 \cdot 1/2, 2 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (1, -\sqrt{3}, 0)$. Используем формулы для $t$ и $s$ при $x_D = 1$, $y_D = -\sqrt{3}$: $s = -2(-\sqrt{3})/\sqrt{3} = 2$. $t = 1 - (-\sqrt{3})/\sqrt{3} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $t=2, s=2$.

в) $\vec{AE} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$

Вектор $\vec{AE}$ является короткой диагональю шестиугольника. Его длина равна $L\sqrt{3} = \sqrt{3}$. Вектор $\vec{AE}$ можно представить как $\vec{AD} + \vec{DE}$. В правильном шестиугольнике $\vec{DE}$ параллелен и равен $\vec{AB}$, но противоположен по направлению, то есть $\vec{DE} = -\vec{AB}$. $\vec{AE} = \vec{AD} - \vec{AB} = (1, -\sqrt{3}, 0) - (1,0,0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$. Используем формулы для $t$ и $s$ при $x_E = 0$, $y_E = -\sqrt{3}$: $s = -2(-\sqrt{3})/\sqrt{3} = 2$. $t = 0 - (-\sqrt{3})/\sqrt{3} = 1$.

Ответ: $t=1, s=2$.

г) $\vec{AC_1} = t\vec{AB} + s\vec{AF_1}$

Вектор $\vec{AF_1}$ можно представить как сумму $\vec{AF} + \vec{FF_1}$. Поскольку боковое ребро $\vec{FF_1}$ параллельно и равно $\vec{AA_1}$, то $\vec{FF_1} = \vec{AA_1} = (0,0,1)$. $\vec{AF_1} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0) + (0,0,1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор $\vec{AC_1}$ можно представить как сумму $\vec{AC} + \vec{CC_1}$. Поскольку боковое ребро $\vec{CC_1}$ параллельно и равно $\vec{AA_1}$, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = (0,0,1)$. $\vec{AC_1} = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0) + (0,0,1) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Теперь решаем векторное уравнение $\vec{AC_1} = t\vec{AB} + s\vec{AF_1}$: $(3/2, -\sqrt{3}/2, 1) = t(1,0,0) + s(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Разложим это уравнение по компонентам:

1) По оси $x$: $3/2 = t - s/2$ 2) По оси $y$: $-\sqrt{3}/2 = -s\sqrt{3}/2$ 3) По оси $z$: $1 = s$

Из уравнений (2) и (3) немедленно следует, что $s=1$. Подставим значение $s=1$ в уравнение (1): $3/2 = t - 1/2$ $t = 3/2 + 1/2 = 2$.

Ответ: $t=2, s=1$.

20.18. В тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами ребер соответственно $AB$ и $CD$ (рис. 20.12). Докажите, что $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.

Дано:

В тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AB$ и $CD$ соответственно.

Найти:

Доказать, что $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.

Решение:

Для доказательства используем метод векторов. Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала координат и обозначим радиус-векторы вершин тетраэдра относительно этой точки как $\vec{OA} = \vec{A}$, $\vec{OB} = \vec{B}$, $\vec{OC} = \vec{C}$, $\vec{OD} = \vec{D}$.

Поскольку точка $E$ является серединой ребра $AB$, ее радиус-вектор $\vec{E}$ может быть выражен как среднее арифметическое радиус-векторов точек $A$ и $B$:
$\vec{E} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B})$

Аналогично, поскольку точка $F$ является серединой ребра $CD$, ее радиус-вектор $\vec{F}$ может быть выражен как:
$\vec{F} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D})$

Вектор $\vec{EF}$, соединяющий точки $E$ и $F$, можно найти как разность радиус-векторов точки $F$ и точки $E$:
$\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E}$

Теперь подставим ранее полученные выражения для $\vec{F}$ и $\vec{E}$ в это уравнение:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D}) - \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B})$

Чтобы получить требуемую формулу, перегруппируем слагаемые в скобках. Мы знаем, что вектор, идущий от одной точки к другой, равен разности их радиус-векторов (например, $\vec{XY} = \vec{Y} - \vec{X}$). Таким образом, $\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A}$ и $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}$. Перегруппируем члены в скобках соответственно:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}((\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}))$

Заменим полученные разности радиус-векторов на соответствующие векторы:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ:

Доказано, что $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.

20.19. Катер прошел в направлении к северо-западу 2 км, а потом, повернув на север, еще 1 км. Выберите масштаб, постройте вектор перемещения и найдите его длину.

Дано

$s_1 = 2 \text{ км}$ (в направлении северо-запад)
$s_2 = 1 \text{ км}$ (в направлении север)

Перевод в СИ

$s_1 = 2 \text{ км} = 2000 \text{ м}$
$s_2 = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Найти

$S = ?$ (длина вектора перемещения)

Решение

Выбор масштаба
Для удобства построения выберем масштаб: $1 \text{ см} = 0.5 \text{ км}$.
Тогда длина первого вектора на чертеже будет $L_1 = 2 \text{ км} / 0.5 \text{ км/см} = 4 \text{ см}$.
Длина второго вектора на чертеже будет $L_2 = 1 \text{ км} / 0.5 \text{ км/см} = 2 \text{ см}$.
Ответ: Выбран масштаб $1 \text{ см} = 0.5 \text{ км}$.

Построение вектора перемещения
1. Начертите систему координат, обозначив направления: Север (вверх), Юг (вниз), Запад (влево), Восток (вправо).
2. От начала координат отложите первый вектор $\vec{s_1}$ длиной $4 \text{ см}$ в направлении северо-запада (угол $45^\circ$ между направлением "Север" и "Запад", или $135^\circ$ от положительной оси "Восток", если "Восток" - это ось X).
3. От конца первого вектора $\vec{s_1}$ отложите второй вектор $\vec{s_2}$ длиной $2 \text{ см}$ в направлении севера (вертикально вверх).
4. Вектор полного перемещения $\vec{S}$ будет направлен от начала координат к концу второго вектора $\vec{s_2}$. Его длину на чертеже следует измерить и перевести в километры, используя выбранный масштаб.
Ответ: Вектор перемещения должен быть построен графически в соответствии с описанием.

Нахождение длины вектора перемещения
Представим векторы в компонентной форме. Пусть ось $x$ направлена на Восток, а ось $y$ на Север.
Для первого перемещения $s_1 = 2 \text{ км}$ в направлении северо-запада (угол $135^\circ$ относительно положительной оси $x$):
$s_{1x} = s_1 \cos(135^\circ) = 2 \text{ км} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \text{ км}$
$s_{1y} = s_1 \sin(135^\circ) = 2 \text{ км} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \text{ км}$
Для второго перемещения $s_2 = 1 \text{ км}$ в направлении севера:
$s_{2x} = 0 \text{ км}$
$s_{2y} = 1 \text{ км}$
Компоненты вектора полного перемещения $\vec{S} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$:
$S_x = s_{1x} + s_{2x} = -\sqrt{2} + 0 = -\sqrt{2} \text{ км}$
$S_y = s_{1y} + s_{2y} = \sqrt{2} + 1 \text{ км}$
Длина (модуль) вектора полного перемещения $S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2}$:
$S = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} + 1)^2}$
$S = \sqrt{2 + ((\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2)}$
$S = \sqrt{2 + (2 + 2\sqrt{2} + 1)}$
$S = \sqrt{2 + 3 + 2\sqrt{2}}$
$S = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$
Приближенное значение:
$\sqrt{2} \approx 1.4142$
$S \approx \sqrt{5 + 2 \cdot 1.4142} = \sqrt{5 + 2.8284} = \sqrt{7.8284}$
$S \approx 2.798 \text{ км}$
Ответ: Длина вектора перемещения составляет $\sqrt{5 + 2\sqrt{2}} \text{ км}$ или приблизительно $2.80 \text{ км}$.