Номер 20.14, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.14. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} - \vec{AA_1}$;

б) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$;

в) $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$;

г) $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Так как куб единичный, все измерения представлены в условных единицах длины, которые не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Длину следующих векторов:

а) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1}$

б) $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DD_1}$

в) $\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1}$

г) $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}$

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$.

Так как куб единичный, длины его ребер равны 1.

Ориентируем оси координат вдоль ребер куба, выходящих из вершины $A$:

Ось X вдоль $\overrightarrow{AB}$.

Ось Y вдоль $\overrightarrow{AD}$.

Ось Z вдоль $\overrightarrow{AA_1}$.

Тогда координаты вершин куба будут:

$A=(0,0,0)$

$B=(1,0,0)$

$C=(1,1,0)$

$D=(0,1,0)$

$A_1=(0,0,1)$

$B_1=(1,0,1)$

$C_1=(1,1,1)$

$D_1=(0,1,1)$

Длина вектора $\vec{v}=(x,y,z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

а) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1}$

Определим координаты каждого вектора:

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0)$.

$\overrightarrow{AA_1} = A_1 - A = (0,0,1) - (0,0,0) = (0,0,1)$.

Найдем разность этих векторов:

$\vec{v}_a = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1} = (1,0,0) - (0,0,1) = (1-0, 0-0, 0-1) = (1,0,-1)$.

Найдем длину полученного вектора $\vec{v}_a$:

$|\vec{v}_a| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DD_1}$

Определим координаты каждого вектора:

$\overrightarrow{AC} = C - A = (1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)$.

$\overrightarrow{DD_1} = D_1 - D = (0,1,1) - (0,1,0) = (0,0,1)$.

Найдем разность этих векторов:

$\vec{v}_б = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DD_1} = (1,1,0) - (0,0,1) = (1-0, 1-0, 0-1) = (1,1,-1)$.

Найдем длину полученного вектора $\vec{v}_б$:

$|\vec{v}_б| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

в) $\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1}$

Определим координаты каждого вектора:

$\overrightarrow{AB_1} = B_1 - A = (1,0,1) - (0,0,0) = (1,0,1)$.

$\overrightarrow{BC_1} = C_1 - B = (1,1,1) - (1,0,0) = (0,1,1)$.

Найдем разность этих векторов:

$\vec{v}_в = \overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1} = (1,0,1) - (0,1,1) = (1-0, 0-1, 1-1) = (1,-1,0)$.

Найдем длину полученного вектора $\vec{v}_в$:

$|\vec{v}_в| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

г) $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}$

Определим координаты каждого вектора:

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1,0,0)$.

Вектор $2\overrightarrow{AB}$ имеет координаты:

$2\overrightarrow{AB} = 2 \cdot (1,0,0) = (2,0,0)$.

$\overrightarrow{BD_1} = D_1 - B = (0,1,1) - (1,0,0) = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1,1,1)$.

Найдем сумму этих векторов:

$\vec{v}_г = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1} = (2,0,0) + (-1,1,1) = (2-1, 0+1, 0+1) = (1,1,1)$.

Найдем длину полученного вектора $\vec{v}_г$:

$|\vec{v}_г| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$