Номер 20.7, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.7. Сколько различных векторов задают ребра: а) куба; б) треугольной призмы; в) правильной четырехугольной пирамиды (рис. 20.10)?

Рис. 20.10

а) куба

Куб имеет 12 ребер. Все ребра куба имеют одинаковую длину. Ребра куба можно разделить на 3 группы по их взаимно перпендикулярным направлениям. Для каждого из этих трех направлений существует два противоположных вектора. Например, если ребра параллельны осям X, Y, Z, то будут векторы, направленные вдоль X в положительном направлении и вдоль X в отрицательном направлении. Все эти 6 векторов имеют одинаковую длину, но различаются по направлению. Любой вектор, заданный ребром куба, будет равен одному из этих 6 векторов. Таким образом, имеется 6 различных векторов, задаваемых ребрами куба.

Ответ: 6

б) треугольной призмы

Треугольная призма имеет 9 ребер: 3 ребра в каждом из двух оснований (всего 6) и 3 боковых ребра, соединяющих основания.

Предположим, что призма является прямой, и ее основания являются конгруэнтными треугольниками.

1. Ребра оснований: Ребра двух оснований параллельны и равны между собой. Поскольку основание - это треугольник, его три стороны имеют три различных направления. Для каждого из этих трех направлений существует два противоположных вектора. Например, если стороны треугольника $ABC$ имеют направления $AB$, $BC$, $CA$, то соответствующие векторы будут $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$, $\vec{CA}$ и $\vec{AC}$. Поскольку направления $AB$, $BC$ и $CA$ не параллельны, все $3 \times 2 = 6$ полученных векторов различны. Все они имеют одинаковую длину (если основание - равносторонний треугольник) или могут иметь разные длины, но в любом случае их направления будут уникальны.

2. Боковые ребра: Боковые ребра прямой призмы параллельны друг другу и имеют одинаковую длину. Таким образом, они задают два противоположных вектора (например, направленные "вверх" и "вниз"). Эти 2 вектора имеют одинаковую длину, но противоположное направление.

Поскольку длина ребер оснований обычно отличается от длины боковых ребер (если только призма не является особой формой), и направления ребер оснований не совпадают с направлением боковых ребер (они перпендикулярны в прямой призме), все 6 векторов от оснований и 2 вектора от боковых ребер являются различными. Таким образом, всего $6 + 2 = 8$ различных векторов.

Ответ: 8

в) правильной четырехугольной пирамиды (рис. 20.10)

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и 4 боковых ребра, идущих от вершин основания к вершине пирамиды.

Всего пирамида имеет 8 ребер: 4 ребра в основании и 4 боковых ребра.

1. Ребра основания: Основание является квадратом. Из 4 ребер основания можно выделить два различных направления. Для каждого направления существует два противоположных вектора. Например, для ребра $AB$ существуют векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$. Вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$. Аналогично, для ребра $BC$ существуют векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$, причем $\vec{BC}$ равен $\vec{AD}$. Поскольку эти два направления (например, по $AB$ и по $BC$) перпендикулярны, все 4 вектора ($\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$) являются различными. Все эти векторы имеют одинаковую длину (сторона квадрата).

2. Боковые ребра: У правильной четырехугольной пирамиды все 4 боковых ребра имеют одинаковую длину. Однако направления этих ребер (например, $\vec{SA}$, $\vec{SB}$, $\vec{SC}$, $\vec{SD}$ на рис. 20.10) различны. Также существуют векторы, направленные в противоположную сторону (например, $\vec{AS}$, $\vec{BS}$, $\vec{CS}$, $\vec{DS}$). Все эти 8 векторов имеют одинаковую длину, но каждое из них имеет свое уникальное направление. Таким образом, боковые ребра задают $4 \times 2 = 8$ различных векторов.

Поскольку длина ребер основания обычно отличается от длины боковых ребер, и направления ребер основания не совпадают с направлениями боковых ребер, все 4 вектора от основания и 8 векторов от боковых ребер являются различными. Таким образом, всего $4 + 8 = 12$ различных векторов.

Ответ: 12