Номер 20.16, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.16. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите такую точку $X$, для которой выполняется равенство:

а) $\overline{XA} + \overline{XC} = \overline{0}$;

б) $\overline{XA} + \overline{XB} + \overline{XC} + \overline{XD} = \overline{0}$;

в) $\overline{XA} + \overline{XB} + \overline{XC} + \overline{XD} + \overline{XA_1} + \overline{XB_1} + \overline{XC_1} + \overline{XD_1} = \overline{0}$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторные равенства:
а) $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{0}$
б) $\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD} = \vec{0}$
в) $\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD} + \vec{XA_1} + \vec{XB_1} + \vec{XC_1} + \vec{XD_1} = \vec{0}$

Найти:

Точку $X$ для каждого равенства.

Решение:

Векторная сумма $\sum_{i=1}^{n} \vec{XP_i} = \vec{0}$ выполняется, если точка $X$ является центром масс (центроидом) точек $P_1, P_2, \dots, P_n$.
Докажем это. Пусть $O$ — произвольный начало координат. Тогда каждый вектор $\vec{XP_i}$ можно представить как $\vec{OP_i} - \vec{OX}$.
Подставим это в сумму:
$\sum_{i=1}^{n} (\vec{OP_i} - \vec{OX}) = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{n} \vec{OP_i} - \sum_{i=1}^{n} \vec{OX} = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{n} \vec{OP_i} - n \cdot \vec{OX} = \vec{0}$
$n \cdot \vec{OX} = \sum_{i=1}^{n} \vec{OP_i}$
$\vec{OX} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \vec{OP_i}$
Эта формула определяет $X$ как центроид (барыцентр) системы точек $P_1, \dots, P_n$.

а)

Дано равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{0}$.
Здесь $n=2$, и точки - $A$ и $C$. Точка $X$ является центроидом точек $A$ и $C$.
Центроид двух точек - это середина отрезка, соединяющего эти точки.
Следовательно, точка $X$ - это середина отрезка $AC$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точки $A$ и $C$ являются противоположными вершинами нижней грани $ABCD$. Середина отрезка $AC$ - это центр грани $ABCD$.
Ответ: Точка $X$ - центр грани $ABCD$.

б)

Дано равенство $\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD} = \vec{0}$.
Здесь $n=4$, и точки - $A, B, C, D$. Точка $X$ является центроидом точек $A, B, C, D$.
Точки $A, B, C, D$ являются вершинами грани $ABCD$. Центроид вершин плоской фигуры - это её геометрический центр.
Следовательно, точка $X$ - это центр грани $ABCD$.
Ответ: Точка $X$ - центр грани $ABCD$.

в)

Дано равенство $\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD} + \vec{XA_1} + \vec{XB_1} + \vec{XC_1} + \vec{XD_1} = \vec{0}$.
Здесь $n=8$, и точки - $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$. Точка $X$ является центроидом всех восьми вершин куба.
Центроид всех вершин многогранника - это его геометрический центр.
Следовательно, точка $X$ - это центр куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Ответ: Точка $X$ - центр куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.