Номер 20.15, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.15. В тетраэдре ABCD все ребра равны 1 (рис. 20.12). Найдите длину вектора $ \overline{AD} + \overline{BC} $.

Рис. 20.12

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Длина каждого ребра $a = 1$.

Перевод в СИ:

Для данной геометрической задачи не требуется явный перевод в систему СИ, так как длины рёбер представлены безразмерными единицами.

Найти:

Длину вектора $|\vec{AD} + \vec{BC}|$.

Решение:

1. Обозначим искомую длину вектора как $L = |\vec{AD} + \vec{BC}|$. Для нахождения длины суммы двух векторов воспользуемся формулой для квадрата длины вектора, которая выражается через скалярное произведение:

$L^2 = |\vec{AD} + \vec{BC}|^2 = (\vec{AD} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AD} + \vec{BC})$

Раскрывая скалярное произведение, получаем:

$L^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2(\vec{AD} \cdot \vec{BC})$

2. По условию, все рёбра тетраэдра равны 1. Это означает, что длины векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны 1:

$|\vec{AD}| = 1$

$|\vec{BC}| = 1$

3. Теперь необходимо вычислить скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ являются противоположными рёбрами тетраэдра. Чтобы найти их скалярное произведение, выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы, выходящие из общей вершины, например, $A$.

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

Тогда скалярное произведение примет вид:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{AD} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB}$

4. Тетраэдр $ABCD$ является правильным, поскольку все его рёбра равны. В правильном тетраэдре все грани представляют собой равносторонние треугольники. Следовательно, углы между любыми рёбрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$.

Используем формулу скалярного произведения $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$:

$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = |\vec{AD}| |\vec{AC}| \cos(\angle DAC)$

Так как $|\vec{AD}| = 1$, $|\vec{AC}| = 1$ и $\angle DAC = 60^\circ$ (угол в равностороннем треугольнике $ACD$), получаем:

$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Аналогично для $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| |\vec{AB}| \cos(\angle DAB)$

Так как $|\vec{AD}| = 1$, $|\vec{AB}| = 1$ и $\angle DAB = 60^\circ$ (угол в равностороннем треугольнике $ABD$), получаем:

$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

5. Теперь подставим найденные значения обратно в выражение для $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Это подтверждает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ ортогональны (перпендикулярны), что является известным свойством противоположных рёбер правильного тетраэдра.

6. Подставим все найденные значения в формулу для $L^2$:

$L^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2(\vec{AD} \cdot \vec{BC})$

$L^2 = 1^2 + 1^2 + 2(0)$

$L^2 = 1 + 1 + 0$

$L^2 = 2$

7. Извлечём квадратный корень, чтобы найти длину вектора $L$:

$L = \sqrt{2}$

Ответ:

Длина вектора $\vec{AD} + \vec{BC}$ равна $\sqrt{2}$.