Страница 118 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.15. Проволока закреплена в точках А и В, а в точке С приложена сила $F = mg = 45 \text{ Н}$. Найдите силу натяжения на участках АС и ВС, если точки А и В находятся на одном уровне (рис. 21.8).

Рис. 21.8

Дано:

$F = mg = 45 \text{ Н}$

Угол между участками $AC$ и $BC$ равен $100^\circ$.

Точки $A$ и $B$ находятся на одном уровне.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Силу натяжения на участках $AC$ ($T_{AC}$) и $BC$ ($T_{BC}$).

Решение:

Рассмотрим равновесие сил, действующих на точку $C$. На эту точку действуют три силы: сила тяжести $F$, направленная вертикально вниз, и силы натяжения $T_{AC}$ и $T_{BC}$, направленные вдоль участков проволоки $AC$ и $BC$ соответственно.

Поскольку точки $A$ и $B$ находятся на одном уровне и приложенная сила $F$ действует строго вертикально вниз, система симметрична. Это означает, что силы натяжения на участках $AC$ и $BC$ равны по модулю: $T_{AC} = T_{BC} = T$.

Общий угол между участками $AC$ и $BC$ составляет $100^\circ$. Из-за симметрии, угол между каждым участком проволоки (например, $AC$) и вертикальной линией, проходящей через точку $C$, равен половине этого угла, то есть $100^\circ / 2 = 50^\circ$.

Для того чтобы система находилась в равновесии, сумма всех сил, действующих на точку $C$, должна быть равна нулю (первое условие равновесия). Мы можем спроецировать силы на вертикальную ось (ось $y$).

Вертикальная составляющая силы $F$ равна $-F$ (направлена вниз).

Вертикальные составляющие сил натяжения $T_{AC}$ и $T_{BC}$ направлены вверх. Их проекции на вертикальную ось равны $T \cos(50^\circ)$ каждая.

Уравнение равновесия по вертикальной оси:

$T_{AC} \cos(50^\circ) + T_{BC} \cos(50^\circ) - F = 0$

Так как $T_{AC} = T_{BC} = T$, получаем:

$T \cos(50^\circ) + T \cos(50^\circ) - F = 0$

$2T \cos(50^\circ) = F$

Выразим силу натяжения $T$:

$T = \frac{F}{2 \cos(50^\circ)}$

Подставим известные числовые значения:

$F = 45 \text{ Н}$

$\cos(50^\circ) \approx 0.6428$

$T = \frac{45}{2 \cdot 0.6428} = \frac{45}{1.2856} \approx 35.00 \text{ Н}$

Округляем до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют две значащие цифры.

Ответ:

Сила натяжения на участках $AC$ и $BC$ приблизительно равна $35 \text{ Н}$. $T_{AC} = T_{BC} \approx 35 \text{ Н}$.

21.16. Повторите определение угла между векторами на плоскости.

Повторите определение угла между векторами на плоскости

Угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на плоскости определяется следующим образом: для определения угла векторы приводятся к общему началу. Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг его начала, чтобы он совпал с направлением другого вектора. Этот угол $\varphi$ всегда находится в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $180^\circ$) включительно: $0 \le \varphi \le \pi$.

Если векторы сонаправлены, угол между ними равен $0$. Если векторы противоположно направлены, угол между ними равен $\pi$ (или $180^\circ$).

Математически косинус угла между двумя ненулевыми векторами $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ может быть найден с использованием скалярного произведения векторов по формуле:

$\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Ответ: Угол между двумя ненулевыми векторами на плоскости – это наименьший угол, образуемый этими векторами, приведенными к общему началу. Он лежит в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан и может быть найден через скалярное произведение векторов.

21.17. По аналогии с определением угла между векторами на плоскости определите понятие угла между векторами в пространстве.

Определите понятие угла между векторами в пространстве.

По аналогии с определением угла между векторами на плоскости, понятие угла между векторами в пространстве определяется следующим образом:

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в пространстве. Если мы приведем эти векторы к общему началу, то они будут лежать в одной плоскости (если только они не являются коллинеарными). Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол $\theta$, образованный этими векторами, который заключен между $0$ и $\pi$ радиан (или $0^\circ$ и $180^\circ$).

Этот угол можно найти, используя скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

Отсюда следует, что:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - это длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно.

Если один из векторов нулевой, угол между ними не определен.

Ответ:

21.18. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между векторами $\overline{AD_1}$ и $\overline{CD_1}$.

Дано: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: угол между векторами $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$. Тогда оси координат будут направлены вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно.

Координаты вершин, необходимых для определения векторов:

$A = (0,0,0)$
$C = (a,a,0)$
$D_1 = (0,a,a)$

Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$

Найдем координаты вектора $\vec{CD_1}$:

$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{AD_1} \cdot \vec{CD_1} = (0) \cdot (-a) + (a) \cdot (0) + (a) \cdot (a) = 0 + 0 + a^2 = a^2$

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$:

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
$|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + 0 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Используем формулу для косинуса угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Подставим найденные значения:

$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$

Определим угол $\theta$ по значению косинуса:

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$

21.19. По аналогии с определением скалярного произведения векторов на плоскости определите скалярное произведение векторов в пространстве.

По аналогии с определением скалярного произведения векторов на плоскости, скалярное произведение векторов в пространстве может быть определено двумя эквивалентными способами: геометрически и алгебраически (через координаты).

Геометрическое определение:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в трехмерном пространстве определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла $\alpha$ между ними.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\alpha$ - угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($0 \le \alpha \le \pi$). Если хотя бы один из векторов является нулевым, скалярное произведение считается равным нулю.

Координатное определение:

На плоскости, для векторов $\vec{a} = (x_a, y_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b)$, скалярное произведение определяется как сумма произведений их соответствующих координат: $x_a x_b + y_a y_b$.

По аналогии, в трехмерном пространстве, если векторы заданы своими декартовыми координатами $\vec{a} = (x_a, y_a, z_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b, z_b)$, их скалярное произведение определяется как сумма произведений их соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$

Эта формула является прямым обобщением координатного определения скалярного произведения векторов на плоскости на трехмерное пространство.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в пространстве определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$ (где $\alpha$ - угол между векторами) или, в координатной форме, как $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$ для векторов $\vec{a} = (x_a, y_a, z_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b, z_b)$.

21.20. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$.

Решение

1. Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Пусть длина ребра куба равна $a$.
Тогда координаты вершин куба, необходимых для определения векторов, будут следующими:
$A = (0,0,0)$
$C = (a,a,0)$
$D_1 = (0,a,a)$

2. Определим координаты векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$:
Вектор $\vec{AD_1}$ имеет координаты конца $D_1$ минус координаты начала $A$:
$\vec{AD_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$
Вектор $\vec{CD_1}$ имеет координаты конца $D_1$ минус координаты начала $C$:
$\vec{CD_1} = (0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$ по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$:
$\vec{AD_1} \cdot \vec{CD_1} = (0) \cdot (-a) + (a) \cdot (0) + (a) \cdot (a)$
$\vec{AD_1} \cdot \vec{CD_1} = 0 + 0 + a^2$
$\vec{AD_1} \cdot \vec{CD_1} = a^2$

Ответ: $a^2$