Страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Приведите пример трех некомпланарных векторов с началом и концом в вершинах треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выразите вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$ (рис. 21.2).

Рис. 21.2

Приведите пример трех некомпланарных векторов с началом и концом в вершинах треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$.

Для треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ можно выбрать три вектора, исходящие из одной вершины и не лежащие в одной плоскости. Например, возьмем вершину A.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ лежат в плоскости основания $ABC$. Вектор $\vec{AA_1}$ соединяет вершину нижнего основания с соответствующей вершиной верхнего основания и, в общем случае, не лежит в плоскости $ABC$. Таким образом, эти три вектора не являются компланарными.

Ответ: Векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AA_1}$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выразите вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$ (рис. 21.2).

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{BB_1}$.

Найти: Выразить вектор $\vec{BD_1}$ через $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

Решение:

Для выражения вектора $\vec{BD_1}$ воспользуемся правилом сложения векторов. Вектор $\vec{BD_1}$ можно представить как сумму векторов, составляющих путь от точки $B$ до точки $D_1$.

Можно представить $\vec{BD_1}$ как сумму вектора $\vec{BD}$ (диагональ основания) и вектора $\vec{DD_1}$ (боковое ребро).

$ \vec{BD_1} = \vec{BD} + \vec{DD_1} $

Рассмотрим вектор $\vec{BD}$ в основании куба $ABCD$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ являются смежными сторонами квадрата $ABCD$, исходящими из вершины $B$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма), диагональ, исходящая из той же вершины, является их суммой:

$ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{BC} $

Далее, рассмотрим вектор $\vec{DD_1}$. В кубе все боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{BB_1}$:

$ \vec{DD_1} = \vec{BB_1} $

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{BD}$ и $\vec{DD_1}$ в исходное уравнение для $\vec{BD_1}$:

$ \vec{BD_1} = (\vec{BA} + \vec{BC}) + \vec{BB_1} $

Раскрывая скобки, получаем:

$ \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1} $

Эта формула является выражением вектора диагонали куба, исходящей из вершины $B$ и направленной в вершину $D_1$, через векторы его смежных ребер, исходящих из той же вершины $B$.

Ответ: $ \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1} $

Вопросы

1. Какие три вектора в пространстве называются компланарными?

2. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

1. Какие три вектора в пространстве называются компланарными?

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в плоскостях, параллельных одной и той же плоскости. Это означает, что их можно привести к одной плоскости путём параллельного переноса. Эквивалентно, три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ являются компланарными тогда и только тогда, когда один из них может быть линейно выражен через два других, при условии, что эти два не коллинеарны. Например, если существуют такие скаляры $x$ и $y$, что $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Ещё одним критерием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.

Ответ: Компланарными называются три вектора, которые при параллельном переносе могут быть расположены в одной плоскости.

2. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам (или теорема о базисе в трехмерном пространстве) гласит: любой вектор $\vec{d}$ в пространстве может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации трех заданных некомпланарных векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Это означает, что существуют единственные скалярные коэффициенты $x$, $y$, $z$ (координаты вектора $\vec{d}$ в базисе $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$), такие, что $\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$.

Ответ: Любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по трем некомпланарным векторам, то есть представлен в виде их линейной комбинации.

21.1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 21.2) укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, коллинеарные вектору $\vec{AB}$.

Рис. 21.2

Решение

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что они имеют одинаковое направление или противоположное направление. Вектор $\vec{AB}$ направлен по ребру куба от вершины $A$ к вершине $B$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, коллинеарные вектору $\vec{AB}$, это векторы, лежащие на прямых, параллельных прямой $AB$. Такие векторы могут быть направлены как в ту же сторону, что и $\vec{AB}$, так и в противоположную. Перечислим их:

Векторы, направленные так же, как $\vec{AB}$:

$\vec{AB}$ (сам вектор), $\vec{DC}$ (на противоположном ребре нижнего основания), $\vec{A_1B_1}$ (на ребре верхнего основания, параллельном $\vec{AB}$), $\vec{D_1C_1}$ (на противоположном ребре верхнего основания).

Векторы, направленные противоположно $\vec{AB}$:

$\vec{BA}$ (противоположный вектору $\vec{AB}$), $\vec{CD}$ (противоположный вектору $\vec{DC}$), $\vec{B_1A_1}$ (противоположный вектору $\vec{A_1B_1}$), $\vec{C_1D_1}$ (противоположный вектору $\vec{D_1C_1}$).

Таким образом, полный список векторов с началом и концом в вершинах куба, коллинеарных вектору $\vec{AB}$, следующий:

$\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{DC}$, $\vec{CD}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{B_1A_1}$, $\vec{D_1C_1}$, $\vec{C_1D_1}$.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{DC}$, $\vec{CD}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{B_1A_1}$, $\vec{D_1C_1}$, $\vec{C_1D_1}$.

21.2. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 21.3) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AA_1}$.

Рис. 21.3

Дано

Треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 21.3).

Найти:

Векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AA_1}$.

Решение

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны между собой.

Вектор $\vec{AA_1}$ направлен вдоль ребра $AA_1$.

1. Векторы, направленные вдоль других боковых рёбер в том же направлении, что и $\vec{AA_1}$, являются коллинеарными ему. Это векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$.

2. Векторы, направленные вдоль тех же рёбер, но в противоположную сторону, также являются коллинеарными. Это векторы $\vec{A_1A}$, $\vec{B_1B}$ и $\vec{C_1C}$.

Следовательно, все векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AA_1}$, это $\vec{AA_1}$, $\vec{A_1A}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{B_1B}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{C_1C}$.

Ответ:

$\vec{AA_1}$, $\vec{A_1A}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{B_1B}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{C_1C}$.