Страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Выразите скалярное произведение двух противоположно направленных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через их длины.

Дано:

два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.

В данной задаче перевод в систему СИ не требуется, так как речь идет о математических векторах.

Найти:

Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ через их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$

где $|\vec{a}|$ – длина (модуль) вектора $\vec{a}$, $|\vec{b}|$ – длина (модуль) вектора $\vec{b}$, а $\theta$ – угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию задачи, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Это означает, что угол между ними составляет $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).

Следовательно, $\theta = 180^\circ$.

Найдем значение косинуса этого угла:

$\cos(180^\circ) = -1$

Подставим это значение в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| (-1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| |\vec{b}|$

Ответ:

Скалярное произведение двух противоположно направленных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через их длины выражается как $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| |\vec{b}|$.

Вопросы

1. Что называется углом между векторами?

2. Какие два вектора называются перпендикулярными?

3. Что называется скалярным произведением двух векторов?

4. Как обозначается скалярное произведение?

5. Что называется скалярным квадратом?

6. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?

7. Какой физический смысл имеет скалярное произведение?

1. Что называется углом между векторами?

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший не отрицательный угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг их общего начала до совпадения с направлением другого вектора. Этот угол обычно находится в пределах от $0$ до $\pi$ радиан (от $0^\circ$ до $180^\circ$).

Ответ:

2. Какие два вектора называются перпендикулярными?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Ответ:

3. Что называется скалярным произведением двух векторов?

Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скалярная величина), равное произведению длин этих векторов на косинус угла $\phi$ между ними. Формула скалярного произведения: $(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\phi}$.

Ответ:

4. Как обозначается скалярное произведение?

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $(\vec{a}, \vec{b})$, $\vec{a} \cdot \vec{b}$, или просто $\vec{a}\vec{b}$. Наиболее часто используется обозначение с точкой: $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Ответ:

5. Что называется скалярным квадратом?

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя: $\vec{a} \cdot \vec{a}$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Ответ:

6. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны), то есть угол между ними равен $90^\circ$ (так как $\cos{90^\circ} = 0$). Также скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым вектором.

Ответ:

7. Какой физический смысл имеет скалярное произведение?

Скалярное произведение в физике имеет смысл "проекции" или "вклада" одной векторной величины в направлении другой. Оно используется для вычисления работы силы ($A = \vec{F} \cdot \vec{S}$), мощности ($P = \vec{F} \cdot \vec{v}$), потока векторного поля (например, электрического или магнитного потока) через поверхность и других физических величин, которые являются скалярами, но зависят от направления двух векторных величин.

Ответ: