Страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Используя теорему о пропорциональных отрезках, докажите, что если точка А принадлежит отрезку, соединяющему точки $А_1(x_1; y_1; z_1)$, $А_2(x_2; y_2; z_2)$ в координатном пространстве, и делит этот отрезок в отношении k, т. е. $ \frac{AA_1}{AA_2} = k $, то она имеет координаты $ A = \left(\frac{x_1 + kx_2}{1 + k}; \frac{y_1 + ky_2}{1 + k}; \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}\right). $

Дано:

Пусть в координатном пространстве даны две точки $A_1(x_1; y_1; z_1)$ и $A_2(x_2; y_2; z_2)$. Точка $A$ принадлежит отрезку, соединяющему эти точки, и делит его в отношении $k$, то есть $\frac{A_1A}{AA_2} = k$. Поскольку точка $A$ принадлежит отрезку, отношение $k$ является неотрицательным числом, $k \ge 0$. Если $k=0$, то $A_1A=0$, что означает $A=A_1$. В случае $k \to \infty$, $AA_2 \to 0$, что означает $A=A_2$. В общем случае, $k \ge 0$. Отсюда следует, что $1+k > 0$.

Найти:

Доказать, что координаты точки $A$ определяются формулой $A=\left(\frac{x_1+kx_2}{1+k}; \frac{y_1+ky_2}{1+k}; \frac{z_1+kz_2}{1+k}\right)$.

Решение:

Для доказательства используем теорему о пропорциональных отрезках. Пусть точка $A$ имеет координаты $(x, y, z)$. Рассмотрим проекции точек $A_1, A, A_2$ на каждую из координатных осей.

1.Проекция на ось Ox:

Проекциями точек $A_1, A, A_2$ на ось Ox являются точки $A_1'(x_1, 0, 0)$, $A'(x, 0, 0)$, $A_2'(x_2, 0, 0)$. Поскольку линии, проходящие через $A_1, A, A_2$ перпендикулярно оси Ox, параллельны между собой, то согласно теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), отношение отрезков на прямой $A_1A_2$ сохраняется для их проекций на ось Ox:

$\frac{A_1'A'}{A'A_2'} = \frac{A_1A}{AA_2} = k$

Длины отрезков на оси Ox выражаются как абсолютные значения разностей координат. Поскольку точка $A$ лежит между $A_1$ и $A_2$ (или совпадает с одной из них), ее x-координата $x$ лежит между $x_1$ и $x_2$. Следовательно, $(x - x_1)$ и $(x_2 - x)$ имеют одинаковый знак (или равны нулю). Таким образом, мы можем записать:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x} = k$

Разрешим это уравнение относительно $x$:

$x - x_1 = k(x_2 - x)$

$x - x_1 = kx_2 - kx$

$x + kx = x_1 + kx_2$

$x(1 + k) = x_1 + kx_2$

$x = \frac{x_1 + kx_2}{1 + k}$

2.Проекция на ось Oy:

Аналогично, для проекций на ось Oy, обозначая их $A_1''(0, y_1, 0)$, $A''(0, y, 0)$, $A_2''(0, y_2, 0)$, мы получаем:

$\frac{A_1''A''}{A''A_2''} = k$

Что приводит к уравнению:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y} = k$

Решая его относительно $y$:

$y - y_1 = k(y_2 - y)$

$y - y_1 = ky_2 - ky$

$y + ky = y_1 + ky_2$

$y(1 + k) = y_1 + ky_2$

$y = \frac{y_1 + ky_2}{1 + k}$

3.Проекция на ось Oz:

И, наконец, для проекций на ось Oz, обозначая их $A_1'''(0, 0, z_1)$, $A'''(0, 0, z)$, $A_2'''(0, 0, z_2)$, мы имеем:

$\frac{A_1'''A'''}{A'''A_2'''} = k$

Что дает уравнение:

$\frac{z - z_1}{z_2 - z} = k$

Решая его относительно $z$:

$z - z_1 = k(z_2 - z)$

$z - z_1 = kz_2 - kz$

$z + kz = z_1 + kz_2$

$z(1 + k) = z_1 + kz_2$

$z = \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}$

Таким образом, объединяя полученные выражения для каждой координаты, мы доказываем, что координаты точки $A$ имеют вид:

$A=\left(\frac{x_1+kx_2}{1+k}; \frac{y_1+ky_2}{1+k}; \frac{z_1+kz_2}{1+k}\right)$.

Ответ:

Доказано, что координаты точки $A$, делящей отрезок $A_1A_2$ в отношении $k$, имеют вид $A=\left(\frac{x_1+kx_2}{1+k}; \frac{y_1+ky_2}{1+k}; \frac{z_1+kz_2}{1+k}\right)$.